9_физ_2(кинематика)

кораблём, движущимся со скоростью v2 . В этой системе

отсчёта

относительная скорость v' первого корабля будет равна:

v' = v1 v2.

(60)

v' =

v2

v2

2v v cos .

(61)

1

2

1

2

Направление вектора v' зададим,

например, углом

(рис.

14б),

который определим из BDE по теореме синусов:

v1

=

v

.

(62)

sin

sin

Отсюда получим:

sin =

v1

sin =

v1 sin

.

(63)

2

2

v

v1

v2 2v1v2 cos

Ответ: v' = v2

v2

2v v cos .

1

2

1

2

длины

эскалатора,

равно

n / l. Поэтому, если человек

идёт

со

скоростью u

относительно эскалатора, то время его прибывания на

эскалаторе равно

l

, а путь, пройденный по эскалатору

ul

.

При

v u

v u

этом

человек

насчитывает

число ступенек равное n =

ul

n

.

1

v u l

Аналогично, во втором случае он насчитывает

n =

3ul

n

. Таким

2

v 3u

l

образом, мы получим систему уравнений:

u

v

n

n = n1,

1

=

,

u

n

(64)

v u

или

1

3u

n = n

1

1

v

=

n

.

2

3

u

n2

v 3u

Отсюда, исключая v / u,

найдём, что n =

2n1n2

= 100.

3n n

1

2

Ответ: n =

2n1n2

= 100.

3n n

1

2

весь путь L на три участка

L1 ,

L2

и L3. Время движения на

каждом

участке

обозначим

соответственно t1, t2 ,

и t3. Средняя

скорость бегуна согласно определению будет равна:

v

=

L1

L2 L3

.

(65)

ср

t1 t2 t3

По

условию

задачи

L1 = L / 2,

L2 L3

= L / 2. Теперь,

поскольку

L1 = v1 t1, L2

= v2 t2 ,

L3

= v3 t3 , и,

учитывая,

что

t2 = t3 , найдём время движения на отдельных участках:

t

= L1 =

L

;

t

= L2 =

L

;

t 3 = L3

=

L

.

(66)

2

1

v1

2v1

v2

2(v2 v3 )

v3

2(v2 v3 )

Подставляя эти выражения в выражение для vср , получим:

vср

=

L

=

2v1 (v2 v3 )

= 7,5 км / ч,

(67)

L

L

L

2v1 v2 v3

2v

2(v v )

2(v

2

v )

1

2

3

3

Ответ: vср

=

2v1 (v2 v3 )

= 7,5 км/ч.

2v1 v2 v3

Задача №3.

Используя

приращения,

введённые

в

параграфе §5,

v0 . Высота

его в

момент времени

t

находится

по

формуле

h(t) = v t

gt2

.

0

2

h .

Решение: Найдём сначала приращение высоты

Согласно (1)

это приращение равно:

h(t) = v

t)

g(t

0

t)2

v t

gt2

= v t gt

t

g( t)2

(t

0

. (68)

0

0

0

2

0

2

0

0

2

Далее, согласно (4) средняя

скорость

движения на

участке h

равна:

(v gt

) t g

( t)2

g t

0

0

2

vср

( t) =

= v0 gt0

.

(69)

t

2

Будем теперь уменьшать t,

приближая его к нулю. Легко видеть,

что в этом случае значение

g t

тоже стремится к нулю. А поскольку

2

величины v0 и gt0 постоянны, то в итоге при t 0 мы получим:

vср ( t) v0 gt0 , при t 0

(70)

И так, мгновенная скорость точки в момент времени t0

находится

по формуле:

vмгн (t0 ) = v0 gt0 .

(71)

Ответ: vì ãí

(t0 ) = v0 gt0.

Задача №4

* Камень брошен со скоростью 26 м/с под углом 60 к

Решение: В параграфе §7 мы показали, что полное

y

ускорение тела состоит из двух

компонент:

v0

тангенциального и нормального ускорений. Полное

ускорение тела в нашем случае равно

g . Разложим

этот вектор на два, как показано на рис.

15. Здесь

O

x

aí вектор

нормального

ускорения,

а

aт вектор

an

тангенциального ускорения.

Как мы

уже

говорили,

g

нормальное

ускорение

отвечает

за

изменение

a

направления вектора скорости, а тангенциальное

ускорение за изменение модуля скорости.

Рис. 15

Из рис.

15 видно,

что

aí = g cos .

С другой

скоростью v по окружности радиуса

R (причём R меняется от

точки к точке). В данном случае величина

R называется радиусом

кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Поэтому мы можем

v( )2

воспользоваться формулой (52),

т. е.

a

=

. Из этих двух

н

R

выражений выразим R :

R =

v( )2

.

(72)

g cos

кривизны и мгновенной скоростью соотношением v( ) = ( )R,

откуда

находим, что:

( ) =

v( )

=

g cos

.

(73)

R

v( )

Найдём теперь значение модуля вектора скорости

vy

v( ) в момент времени .

Для этого разложим этот

v

вектор в виде проекций на координатные оси (рис. 16).

Поскольку сопротивления нет, то по оси X тело

vx

будет двигаться равномерно со скоростью vx= v0 cos .

Рис. 16

Для компоненты vy (см. предыдущую задачу)

получим vy = v0 sin g ,

где рассматриваемый

момент времени. Следовательно модель вектора скорости v( )

равен:

v( ) =

(v cos )2 (v sin g )2 .

(74)

0

0

Подставляя это выражение в (73) получим:

( ) =

gv0 cos

0,6 рад / сек.

(75)

v2

2v sin g g2 2

0

0

Ответ: ( ) =

gv0 cos

0,6

рад/сек.

v2

2v sin g g 2 2

0

0

равна векторной

сумме

v = v1 v2 ,

причём

эти

векторы

будут

направлены, как показано на рис. 17.

Из треугольника скоростей видно,

что v2 = v1 14, 4 м/с.

Поэтому,

для

того, чтобы капли дождя не

оставляли следа на заднем стекле,

Рис. 17

необходимо,

чтобы

направление

вектора скорости капли дождя v

относительно автомобиля составляло

с горизонтом угол не больше 60 .

Ответ:

v2 = v1 14, 4 м/с.

Задача №6.* Точка

A , расположена над нак-

A

лонной плоскостью на

расстоянии

d

от

неё

и

d

соединена тонкой спицей с точкой

B

на

g

плоскости (см. рис. 18). По спице без трения

соскальзывает маленькое колечко. При какой

длине спицы время движения колечка от точки

A

B

до плоскости

будет минимально? Известно, что

3

Рис. 18

= arccos(

) , и трения в системе нет.

4

и

Решение: Введём вспомогательные углы

(см. рис. 19). Из

рисунка видно, что = . Далее длина спицы

A

равна расстоянию

между

точками

A

и

B .

Из

рисунка

также

находим,

что

| AB |=

d

.

d

cos

Поскольку время движения колечка по спице

g

должно быть минимальным, то необходимо связать

B

пройденный путь колечком и ускорение с

функцией от угла .

Рис. 19

Ускорение, с которым колечко будет двигаться

по спице,

равно a = g cos ,

а пройденный путь по

спице за время

(время движения от точки

A до точки B ) будет

равен | AB |=

a 2

= g cos 2 /2

(т.

к.

начальная

скорость колечка

2

d

g cos 2

равна нулю). Приравняем эти два выражения:

=

,

cos

2

и находим зависимость времени

от углов

и :

( , ) =

2d

или ( ) =

2d

,

,

g cos( ) cos

g cos( ) cos

здесь мы воспользовались тем,

что = . Теперь наша

задача

выражение, а именно, воспользуемся следующей формулой из триго-

нометрии: cos( ) cos =

cos( ) cos( 2 )

,

2

поэтому: ( ) = 2

d

.

g[cos( ) cos( 2 )]

Чтобы время ( )

было минимальным, необходимо и достаточно,

чтобы была максимальна функция:

f ( ) = cos( ) cos( 2 ).

Т. к. угол = const в задаче,

то MAXf ( ) = cos 1,

т. е. при

= / 2. Следовательно длина спицы должна быть равной:

| AB |=

d

cos( )

2

Знаменатель данного выражения найдём из следующего соотношения

cos( ) =

1 cos

7

=

. Окончательно получим: | AB |= 2

2

d.

7

2

2

8

Ответ: | AB |= 2

2

d .

7

Контрольные вопросы

4.

Два

автомобиля

приближаются

к

y

перекрёстку

по

взаимно

перпендикулярным

траекториям с постоянными скоростями

v1

и

v1

v2 . В момент времени, когда

первый

v2

автомобиль

достиг

перекрёстка,

второй

находился

на

расстоянии

l

0

от

него.

l0

O

x

Определите

минимальное

расстояние между

автомобилями

в

процессе

движения

Рис. 22

(см. рис. 22).

5. Мальчик, находясь на плоском

склоне

горы

с

углом

наклона = 30 ,

бросает камень в сторону подъёма горы

(рис. 23), сообщив ему начальную

скорость v0 ,

направленную

под углом

= 60

к

гори-зонту. На каком

расстоянии от мальчика упадёт камень?

Рис. 23

Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. Массивная платформа движется с постоянной скоростью

v0

по

относительно платформы равен

u = 2v0 ,

= 60

причём вектор u составляет угол

точки

с поверхности земли с начальными скоростями

v01 = 5 м/с

и

v = 8

м/с, направленными пол углами = 80

и

2

= 20

2

= 20

к

02

1