beskin

191

.

Рис. 30: SZ-эффект, состоящий в перераспределении фотонов реликтового излучения за счет взамодействия с энергичными электронами. SZ-эффект представлен здесь сильно преувеличенным

она еще достаточно велика, и поэтому SZ-эффект здесь должен наблюдаться достаточно отчетливо. В итоге, как показано на Рис. 30, в сантиметровом и миллиметровом диапазоне длин волн он проявляется в ослаблении реликтового излучения, а в субмиллиметровом в его усилении. При этом все фотоны получают от электронов дополнительную энергию, так что вся планковская кривая сдвигается в сторону больших частот. Поэтому до максимума кривая понижается, а после максимума повышается.

Врезультате, мы приходим к выводу, что если смотреть в направлении на скопления галактик на субмиллиметровых частотах, то интенсивность реликтового фона здесь окажется больше, чем вне скоплений, где фон не изменен. С другой сторны, в сантиметровом

имиллиметровом диапазонах длин волн в направлении на скопления будут наблюдаться ”отрицательные” источники излучения, в которых температура будет меньше окружающего их фона. Граница же между подъемом и спадом интенсивности должна лежать на частоте 217 ГГц, соответствующей длине волны 1.38 мм.

Внастоящее время наблюдение SZ-эффекта представляет собой один из ключевых методов исследования дальней Вселенной. С помощью этого эффекта можно получать

192

.

Рис. 31: Космические источники с двумя характерными максимумами в спектре. Слева направо: блазар (активное галактическое ядро без линий поглощения) 1ES 0347−121, остаток взрыва сверхновой RX J1713.7−3946 и квазар PKS 215−304

важнейшую информацию о массах скоплений и давлении горячего межгалактического газа, о скорости скопления вдоль луча зрения. Именно SZ-эффект позволил обнаружить тысячи новых скоплений галактик, в том числе на больших красных смещениях. Наконец, наблюдения SZ-эффекта предоставляют независимый способ определения постоянной Хаббла (а, следовательно, и общей плотности вещества во Вселенной). При этом основное преимущество этого метода состоит в том, что в его основе лежит достаточно элементарный процесс, характеристики которого зависят лишь от небольшого количества параметров.

Обратный Комптон-эффект, по-видимому, играет определяющую роль и во многих других процессах, происходящих в космосе. На Рис. 31 в качестве примера показаны несколько характерных спектров совершенно различных космических источников. Как мы видим, во всех случаях в спектрах этих объектов наблюдаются два характерных максимума, разнесенных по энергиям на 8-10 порядков.

В настоящее время для объяснения подобных спектров большинством исследователей также привлекается обратный Комптон-эффект. Иными словами, предполагается, что менее энергичный пик, расположенный в рентгеновском диапазоне, связан с синхротронным излучением, тогда как более энергичный максимум обусловлен обратным комптоновским рассеянием синхротронных фотонов. При этом, согласно соотношению (286), необходимо предположить, что в этих источниках существуют релятивистские электроны (или позитроны) с энергиями, соответствующими лоренц-факторам γe 104–105 (энергия

194

ционных волн равна скорости света c, то значительное расстояние между приемниками

будет давать временную задержку, доходящую (в зависимости от направления на источник) до 10 миллисекунд. Это должно позволить определить направление на источник гравитационного излучения. При этом все обсерватории представляют собой Г-образную систему, что позволяет принимать излучение из любого направления.

Основным рабочим инструментом в большинстве приемников являются массивные (до 40 кг) специально выращенные монокристаллические цилиндры, обладающие высокой добротностью, т.е. способные откликнуться на колебания в диапазоне 1–104 Гц. Как

показано в Приложении 8.9,Именно такие частоты должны иметь гравитационные волны, образующиеся на конечной стадии эволюции двойной системы, состоящей из двух нейтронных звезд. При прохождении гравитационного импульса c длиной волны λ меньшей или порядка расстояния L между двумя принимающими цилиндрами, напряженность

гравитационного поля волны у двух детекторов (а, значит, и их ускорение) будет различным. Поэтому, измеряя изменение расстояния δL между двумя приемниками, можно

судить и об интенсивности гравитационного импульса.

Для ожидаемых источников относительное смещение детекторов h = δL/L должно составлять лишь 10−20–10−22. Чтобы измерить столь малые смещения, используют интер-

ферометр Майкельсона, в каждом из плеч которого благодаря установленным на детекторах зеркалам образуются резонаторы Фабри-Перо. За счет многократного прохождения света между зеркалами ожидаемая задержка (или опережение) во времени δt = δL/c

увеличивается, что и дает возможность зарегистрировать гравитационный сигнал. Ясно, однако, что для уверенной регистрации желательно иметь как можно большее расстояние между зеркалами, а качество оптической системы должно быть исключительно высоко. Поэтому в многокилометровых туннелях необходимо поддерживать вакуум.

Казалось бы, все рассказанное выше не имеет никакого отношения к квантовому миру. Однако при ближайшем рассмотрении мы обнаруживаем, что и здесь квантовые эффекты могут играть заметную роль. Действительно, даже при расстоянии между детекторами L порядка нескольких километров, следует ожидать их относительное смещение

195

δL hL (10−15–10−17) см. При этом столь малая величина (которая меньше комптоновской длины протона!) должна быть измерена на масштабе времени τ , не превы-

шающей периода самой гравитационной волны. Характерные же времена колебаний в гравитационной волне, как уже говорилось, составлют лишь 10−3–10−4 с.

С другой стороны, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, любая попытка измерить координату тела массы M с точностью δL приведет к тому, что само это тело приобретет скорость δV ≈ h/¯ (M δL). В результате, за время измерения τ смещение детектора δ′L = δV τ должно быть не меньше

Поэтому, любая попытка измерить координату тела δL с точностью, лучшей чем (δL)min,

где

приведет к тому, что квантовое смещение δ′L (288) станет больше, чем δL. Простейший расчет показывает, что для массы M порядка 10 кг и времени наблю-

дения τ порядка 10−3 с величина (δL)min будет как раз примерно равна 10−17 см, т.е.

смещению, ожидаемому от самых слабых источников. Таким образом, мы приходим к совершенно замечательному выводу, что современные детекторы гравитационного излучения достигли квантового предела разрешения. Поэтому эффекты квантовой механики неизбежно должны будут учитываться как при анализе данных, полученных на уже существующих приемниках, так и при проектировании гравитационных обсерваторий нового поколения.

196

7Заключение

На рубеже 20-21 веков квантовая механика, безусловно, переживает вторую молодость. Бурное развитие технологии позволило проводить эксперименты, невозможные еще несколько десятилений назад. Сюда можно отнести прямые эксперименты по проверке неравенств Белла, квантовой телепортации, работы по созданию квантовых компьютеров. Одним из главных достижений в физике за 2011 год стала экспериментальная работа по динамическому эффекту Казимира, в которой фотоны рождались из вакуумных флуктуаций электромагнитного поля за счет быстрых колебаний специально приготовленных зеркал. Неудивительно поэтому, что примерно одна треть Нобелевских премий, присужденных за последние четверть века (за квантовый эффект Холла, за высокотемпературную и обычную сверхпроводимость, за графен) связаны с ключевыми вопросами квантового мира.

Квантовая механика изменила мир вокруг нас. Пользуясь современными средствами связи, мы уже давно не задумываемся, что все они работают в квантовом режиме. Даже электроны, проводящие ток в обычном проводе, представляют собой чисто квантовую систему, а не отдельные частицы, к которым без ограничений могли бы быть применены законы классичесской механики.

Квантовая механика нас очень многому научила. Например, что значит правильно поставленный вопрос. Насколько далеко можно идти в отрицании казалось бы незыблемых истин. Волна или частица на первый взгляд, точная формулировка вопроса, но в такой постановке задача, как мы видели, найти решение невозможно. На примере задач, связанных с квантовой механикой, удалось вплотную подойти к реальным, как мы теперь понимаем, границам классического подхода к описанию природы: классические законы логики отказывают, сталкиваясь с вероятностным описанием единичных событий.

Закончить же эту книгу хочется еще одним историческим замечанием. Как уже говорилось, среди отцов-основателей квантовой механики не было российских ученых. Тем не менее, три имени не могли не быть упомянуты. Это М.П. Бронштейн, Л.Д. Ландау и Г.А. Гамов. Три закадычных друга, внутренне свободные и раскрепощенные, не призна-

197

вавшие никаких авторитетов, они ворвались в науку в двадцатых годах прошлого века. Уже тогда, несмотря на молодость, было понятно, насколько высок их потенциал.

А вот судьба развела их. Неизбежно столкнувшись с тоталитарным режимом, они выбрали разные пути. М.П. Бронштейн, не пойдя на компромисс (ему предложили написать историю физики, в которой основные заслуги приписывались бы российским ученым), был репрессирован и расстрелян 1938 году. Г.А. Гамов эмигрировал в США, и долгие годы его имя находилось под запретом. Тогда этот поступок действительно во многом выглядел как предательство, и многие друзья отвернулись от него. Л.Д. Ландау открыто выступил против режима, провел один год в тюрьме, и лишь личное вмешательство П.Л. Капицы, поручившегося, что Ландау больше никогда не будет заниматься политикой, спасло ему жизнь. Но было одно, что их объединяло. Они отдали свои жизни науке, и в этом служении были последовательны до конца.

198

8Приложения

В Приложениях мы рассморим ряд задач, которые требуют несколько большей математики, чем в основном тексте. Впрочем, и здесь расчеты ограничиваются в основном достаточно элементарными выкладками.

8.1 Принцип равнораспределения энергии по степеням свободы

В этом разделе на простом примере будет показано, как принцип равнораспределения энергии по степеням свободы позволяет получить классические результаты статистической физики. А именно, как и в разделе 3.1.1, мы рассмотрим вероятность, с которой N

частиц могут быть распределены по двум ячейкам (например, в правой и левой частях комнаты). Отметим сразу, что в нашем случае реализуется наиболее простой случай принципа равнораспределения, в котором все состояния имеют одну и ту же энергию. Более общий случай понадобится нам в Приложении 8.3.

Прежде всего, рассмотрим вопрос о том, сколько различных состояний существует при размещении N частиц по двум ячейкам. Т.е. какое количество вариантов того, что в первой ячейке будет находится K частиц, а во второй (N − K) частиц. Это есть

классическая задача комбинаторики ”школьной” (т.е. элементарной) области теории

вероятности.

Для решения этой задачи нам, фактически, достаточно знать лишь про бином Нью-

которые мы специально записали в чуть более формальном виде. Коэффициенты при произведениях aK bN −K и дают нам ответ на поставленный вопрос. Действительно, коэффициент 3 при a2b есть в точности количество вариантов, в которых в произведении

199

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) два раза выпадет a, и один раз b. Выпадение a будет

соответствовать событию, в котором частица попадает в левую половину комнаты, а выпадение b в правую. При этом сами коэффициенты задаются следующей формулой

(доказывается по индукции)

где по определению факториала n! = 1 ·2 ·. . . ·n, но и 0! = 1. Эту величину еще называют статистическим весом и обозначают буквой G. Полное же число событий есть сумма коэффициентов при произведениях aK bN −K . Положив a = b = 1, получаем (1 + 1)N = 2N .

Для определения же собственно вероятности нам потребуется еще одна гипотеза. А именно гипотеза о том, что выпадение всех 2N возможных состояний имеют одну и ту

же вероятность. Именно в этом и состоит основная аксиома статистической физики. Как уже отмечалось, она является в значительной степени эвристической. Однако ее справедливось (т.е. справедливость выводов и следствий, основанных на этой гипотезе) была многократно проверена. Поэтому, как и для закона сохранения энергии, принцип равно-

распределения был возведен в ранг универсального закона.

Если же все варианты действительно одинаковы, то тогда мы можем написать для вероятности события, в котором в левой части находится K частиц, а в правой (N −K)

Обсудим вкратце свойства этого распределения. Поскольку нас прежде всего интересуют большие значения K и N , то можно воспользоваться соотношением Муавра-Стирлинга

Эти соотношения, как мы видим, справедливы не только для целых, но и для любых значений n.

200

Далее, как видно уже из биноминальных коэффициентов, наибольшие значения вероятности должны достигаться при K = N/2. Если теперь ввести новую переменную

δ = K − N/2 и воспользоваться соотношением ln(1 + δ) ≈ δ − δ2/2, то можно получить

Это соотношение и было использовано нами в разделе 3.1.1.

8.2Закон Релея-Джинса

Прежде чем переходить к вычислениям, необходимо точно определить все используемые величины. Закон Рэлея-Джинса это закон для равновесной плотности излучения т.н.”абсолютно чёрного тела” P(ω). При этом спектральная плотность излучения P(ω)

определяется так, чтобы поток энергии (измеряется в эрг см−2 с−1 Гц−1) в диапазоне частот от ω до ω + δω был равен P(ω)δω. Далее, понятно, что абсолютно чёрных тел в

природе не существует. ”Абсолютно чёрное тело” есть удобная модель, которая обычно используется для анализа экспериментов. Обычно ее изображают как замкнутую полость с небольшим отверстием. Но на самом деле отверстие для этой модели вообще не важно, поскольку оно нужно лишь для того, чтобы подчеркнуть принципиальную возможность наблюдать излучение, находящегося внутри полости. В результате свет, попадающий внутрь сквозь отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным.

При этом, однако, важно, что при нагревании этой полости у неё должно появится собственное излучение. Разумно предположить, что излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде, чем оно сможет выйти за пределы полости, должно неизбежно претерпеть большое количество новых поглощений и излучений. Поэтому излучение внутри полости будет находится в термодинамическом равновесии со стенками. Это и есть основное свойство”абсолютно чёрного тела”, которое и приводит к его, как мы сейчас увидим, достаточно универсальным свойствам.