beskin

91

соотношениями

Соответственно, полярные координаты (θ, ϕ)( и (θ′, ϕ′) будут преобразовываться по фор-

мулам

Напомним, что при повороте осей координатной системы координаты векторных величин изменяются по вполне определенному закону. В частности, при повороте на угол

Θ вокруг оси x координаты любого вектора Ax, Ay и Az в одной системе координат и его координаты Ax′ , Ay′ и Az′ в другой системе должны быть связаны соотношениями

Именно должны, так как в противном случае объект A, задаваемый его тремя коорди-

натами, вообще нельзя считать вектором Т.е. соотношения (151)–(153) есть определение,

ане свойство вектора A.

Вдальнейшем нам будет удобно записывать линейные преобразования, подобные (151)–(153), в виде таблицы (матрицы) коэффициентов

Иными словами, в данном случае нужно мысленно дописать ко всем коэффициентам, стоящим в первом столбце, сомножитель Ax, ко второму сомножитель Ay , а к третьему

93

с некоторыми другими коэффициентами a′c, a′0 и a′s. Мы специально в качестве арументов функции f оставили исходные углы θ и ϕ, чтобы подчеркнуть, что само распределение

f (θ, ϕ) осталось неизменным.

Отметим, что сама возможность записать одно и то же угловое распределение f (θ, ϕ)

через одинаковые функции sin θ cos ϕ, cos θ и sin θ sin ϕ, в которых аргументы θ и ϕ, од-

нако, могут отсчитываться от произвольно расположенных координатных осей, конечно же, совершенно неочевидна. Понятно, что далеко не любой набор функций будет удовлетворять этому условию. Замечательное же свойство сферических функций как раз и

состоит в том, что они этому условию удовлетворяют.

Еще одно важнейшее свойство сферических функций состоит в их ортогональности. Для обычных векторов A и B такое свойство понятно: два вектора будут ортогональны

равно нулю. Оказывается, что скалярное произведение можно ввести не только для векторов, но и для достаточно широкого класса функций. Например, для сферических функций их скалярное произведение по определению есть

где Y (a) и Y (b) две любые сферические функции. Как легко проверить, для любых раз-

ных сферических функций определеннное таким образом скалярное произведение действительно равно нулю, а для одинаковых единице. Фактически, такое свойство неявно используется и при определении скалярного произведения (159) обычных векторов

и

поскольку все скалярные произведения различных ортов (ex ·ey ), (ex ·ez ) и (ey ·ez ) равны

нулю, а одинаковых единице.

95

комбинация 2l + 1 сферических функций порядка l, то и в любой другой системе для описания того же самого углового распределения будет достаточно тех же 2l + 1 сфе-

рических функций, определенных уже относительно повернутых координатных осей. На языке теории групп это означает, что наборы из трех функций Y1, пяти функций Y2 и

т.д. реализуют неприводимое представление группы всех вращений координатных осей в трехмерном пространстве.

5.1.4Вращения и волновые функции

Вернемся теперь к вопросу о том, как будет зависеть волновая функция частицы при повороте координатных осей. Здесь необходимо отметить несколько важных моментов. Прежде всего, как мы уже поняли, волновая функция частицы, обладающая моментом импульса h¯, должна быть представлена как сумма трех волн, соответствующих различ-

ным проекциям момента импульса. Лишь в этом случае мы сможем без потерь переходить от одной системы координат к другой, произвольным образом повернутой относительно первой. Поэтому если три введенные выше волновые функции Ψ(1)1 , Ψ(0)1 и Ψ(1−1), действительно описывают различные состояния частицы с моментом импульса h¯, то ее полная волновая функция должна быть записана в виде9

Поскольку же, как уже много раз подчеркивалось, ключевым моментом здесь является независимость свойств от выбора системы координат, то при повороте осей волновая функция должна быть выражена через те же функции Ψ(1)1 , Ψ(0)1 и Ψ(1−1), в которых,

однако, проекции момента импульса будут определяться уже относительно повернутой системы координат. Соответственно, будут другими и коэффициенты a:

9На это соотношение можно посмотреть и с другой стороны. Поскольку уравнение Шредингера ли-

нейно, то любая линейная комбинация его решений также будет решением.

96

На первый взгляд, приведенные выше выражения не несут никакой новой информации по сравнению с соотношениями (157)–(158), выписанными для сферических функций. По прежнему ключевым моментом здесь является то, что волновые функции Ψ(1)1 , и Ψ(1−1) образуют полную ортогональную систему. И подобно тому, как проекции вектора A дают исчерпывающую информацию о самом векторе, для описания кванто-

вой системы нам на самом деле достаточно знать лишь коэффициенты разложения a.

Однако здесь гораздо важнее подчеркнуть, что на этом примере может быть переброшен мостик к совершенно новому, квантовому языку описания, для которого главную роль играют уже не сами волновые функции, а коэффициенты a. Именно они будут определять вероятность того, что частица с моментом импульса h¯ будет зарегистрирована в состоянии с проекцией +¯h, 0 или −h¯ на некоторую выделенную ось. В итоге, как

изначально и было сделано в матричной формулировке квантовой механики Гейзенберга, удается полностью абстрагироваться от нашего трехмерного пространства и обсуждать лишь вероятности зарегистрировать частицу в данном состоянии. В рассматриваемом здесь примере в состоянии с данной проекцией момента импульса.

Действительно, по своему смыслу волновые функции Ψ(1)1 , Ψ(0)1 и Ψ(1−1) описывают вероятность найти частицу в данной точке с угловыми координатами(θ, ϕ), соответственно для состояния с проекцией момента импульса +¯h, 0 или −h¯. С другой стороны, для данно-

го состояния полная вероятность обнаружить частицу равна единице.Поэтому квадраты каждой из волновых функций |Ψ(1)1 |2, |Ψ(0)1 |2 или |Ψ(1−1)|2, проинтегрированные по всем

углам (или, что то же самое, скалярное произведение двух одинаковых волновых функций) также должны быть равны единице. Но то же самое относится и к полной волновой функции Ψ1(θ, ϕ, t), поскольку если известно, что момент импульса частицы есть h¯, то

при ее регистрации каким-либо измерительным прибором с вероятностью 100% выпадет одна их трех возможных проекций. Возводя теперь соотношение (169) в квадрат и вспоминая, что функции Ψ(1)1 , Ψ(0)1 и Ψ(1−1) образуют полную ортогональную систему (так

что все перекрестные произведения дадут ноль, а квадраты единицу), мы немедленно

и то же самое для штрихованных величин (a′−)2, (a′0)2 и (a′+)2. Следовательно, коэффициенты a с различными индексами (точнее, их квадраты) и будут описывать вероятность обнаружить частицу с данной проекцией момента импульса на ось z.

Таким образом, если нас не интересует форма электронного облака данного электрона, а лишь вопрос о том, в каком состоянии находится частица, то мы можем ограничиться обсуждением лишь величин a. Напомним, что в случае квантовой частицы

одновременно определить все три проекции момента импульса мы не можем. Поэтому в квантовой механике вопрос ставится по другому: как при повороте осей изменятся амплитуды вероятностей a−, a0 и a+ для того же состояния, но теперь уже в новой системе координат. Иными словами, каковы будут амплитуды a′+, a′0 и a′−, соответствующие уже

повернутой системе координат. А на этот вопрос мы уже готовы ответить.

Рассмотрим прежде всего наиболее простой случай вращения системы координат вокруг оси z на угол Φ. Такой поворот соответствует преобразованию углов θ′ → θ и ϕ′ → ϕ+ Φ. Понятно, что в этом случае волновая функция Ψ(0)1 вообще не изменится. Что же касается, например, функции Ψ(1)1 (θ′, ϕ′, t) = Ψ0 sin θ cos(ϕ − ωt + Φ + ϕ0), то, как мы видим, поворот вокруг оси z приводит лишь к фазовому сдвигу, не меняющему результат усреднения по времени. Поэтому усредненная по времени величина [Ψ(1)1 (θ′, ϕ′, t)]2 будет в точности такой же, как и [Ψ(1)1 (θ, ϕ, t)]2. Таким образом, поворот осей вокруг оси z не

Рассмотрим теперь преобразование (θ, ϕ) → (θ′, ϕ′) (150) при повороте координатных осей против часовой стрелки на угол Θ вокруг оси x. Как мы видели, в этом случае закон преобразования коэффициентов ac, a0 и as, стоящих перед сферическими функциями Y1,

задается соотношениями (163). Такое преобразование, однако, есть еще только промежуточный результат, поскольку состояния с определенной проекцией момента импульса

99

Напомним, что коэффициенты a с различными индексами (точнее, их квадраты) опи-

сывают вероятность обнаружить частицу в состоянии с данной проекцией момента импульса на ось z. Например, состояние c

a+ = 1,

a− = 0,

т.е. состояние с проекцией момента импульса на ось z равным h¯, в повернутой системе

координат будет соответствовать состоянию со значениями

В частности, при Θ = 90◦ это состояние НЕ ЕСТЬ состояние с моментом импульса, повернутым на 90◦ по отношению к новой оси z′. При измерении проекции момента импульса на эту ось вероятность получить ноль есть лишь (a′0)2 = 1/2. С вероятностью

(a′+)2 = 1/4измеренная проекция по-прежнему будет равна +¯h, а с вероятностью 1/4

проекция будет равна −h¯. Полная же веротность, естественно, будет равна единице. Посколькуэто условие должно быть выполнено для любого угла Θ, то, как легко проверить,

единице будет равна сумма квадратов величин, стоящих в каждой строчке и в каждом столбце матрицы (179).

Посмотрим теперь, какие волновые функции нужно использовать, чтобы описать орбитальный момент импульса частицы 2 h¯. Естественно предположить, что для этого нам понадобятся сферические функции порядка l = 2 (164)–(168). Появление сферических функций, пропорциональных sin 2ϕ и sin 2ϕ здесь вполне понятно. Вычисляя вновь волновой вектор kϕ как 2π/λ, где теперь на окружности 2πr укладывается две волны, мы немедленно получаем r · pϕ = r · hk¯ ϕ = 2¯h. Однако, как мы видели, при повороте коор-

динатных осей для определения волновой функции в новых координатах нам неизбежно