Беклемишев-Решения_задач

первого поворота. Для этого заметим, что базисные векторы поворачиваются на ϕ независимо от того, вокруг какой точки осуществляется поворот. Поэтому преобразование будет записано формулами

x = x cos ϕ − y sin ϕ + c1; y = x sin ϕ + y cos ϕ + c2

при каких-то c1 и c2. Теперь вспомним, что преобразование имеет неподвижную точку Q(a, b), и потому a = a cos ϕ − b sin ϕ + c1, а b = a sin ϕ + b cos ϕ + c2. Отсюда

что является записью параллельного переноса на вектор p с координатами

(c1, c2) = (a − a cos ϕ + b sin ϕ, b − a sin ϕ − b cos ϕ).

Заметим, что компоненты p можно найти также и следующим образом: при повороте на угол −ϕ вокруг начала координат O точка O остается на месте, а при повороте на угол ϕ вокруг Q точка O перемещается в точку O с координатами (c1, c2).

Стоит подумать над таким вопросом: пусть расстояние |OQ| фиксировано. При каком значении ϕ получается максимальный по модулю перенос?

а) Выпишите подматрицу, расположенную в строках 1 и 3 и столбцах 1 и 3. б) Сколько квадратных подматриц второго порядка имеет данная матрица? в) Сколько всего подматриц она имеет?

от этого любой столбец из трех. Таким образом, имеется всего 3 × 3 = 9 возможностей.

в) 48, не считая ее самой. Действительно, имеются

Более общим образом можно рассуждать так. Подматрица может иметь 1, 2 или 3 строки. Поэтому, если Ci3 обозначает число сочетаний из 3 по i, то строки подматрицы можно выбрать C13 + C23 + C33 способами. Независимо тем же числом способов можно выбрать столбцы. Поэтому общее число подматриц равно (C13 + C23 + C33)2 = 49. Это число следует уменьшить на 1, если мы не будем относить матрицу к числу ее подматриц.

Можно ли сложить матрицы а) A и B, б) AT и B, в) A и BT, г) AT и BT ?

Р е ш е н и е. Слагаемые должны иметь одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. Поэтому ответ а) Нет, б) Да, в) Да, г) Нет.

Р е ш е н и е. Обозначим искомые коэффициенты через x, y и z. Тогда для четырех элементов матрицы мы должны написать

уравнения

x + 2y + 4z = 1, x + y + 3z = 2, x − y + z = 4,

2x + y + 5z = 5.

Здесь видно, что четвертое уравнение совпадает с суммой первого и третьего и по этой причине может быть отброшено. Нам достаточно решить систему из трех первых уравнений. Вычислим детерминант матрицы из коэффициентов этой системы:

Это означает, что нормальные векторы трех плоскостей, соответствующих уравнениям системы, компланарны. Поэтому либо плоскости не имеют общей точки, а система — решения, либо все три плоскости имеют общую прямую.

Рассмотрим прямую, определяемую вторым и третьим уравнениями. Примем z за параметр, z = t, и решим второе и третье уравнения x + y = 2 − 3t, x − y = 4 − t относительно x и y. Мы получим x = 3 − 2t, y = −1 − t. Таким образом, параметрические уравнения прямой

Необходимо проверить, удовлетворяют ли точки прямой первому уравнению. Результат подстановки координат произвольной точки прямой в левую часть первого уравнения 3 − 2t − 2(1 + t) + 4t действительно для всех t равен 1. Следовательно, формулы (1) дают решение системы из четырех уравнений при любом t. Мы получаем ответ:

D = (3 − 2t)A − (1 + t)B + tC = 3A − B − (2A + B − C)t,

где t произвольно.

Это и неудивительно: матрицы A, B и C линейно зависимы: из результата задачи 3 видно, что 2A + B − C = O. Поэтому, каково бы ни было t, к правой части равенства D = 3A − B

фактически прибавляется O.

1 3

5. Можно ли разложить матрицу 7 9 по матрицам

а) A и B из задачи 3, б) A и B и C из задачи 3?

Р е ш е н и е. а) Как и в предыдущих задачах, вопрос сводится к тому, имеет ли решение система линейных уравнений

x + 2y = 1, x + y = 3, x − y = 7, 2x + y = 9.

Проверить это проще всего так: подсистема из второго и третьего уравнений явно имеет единственное решение x = 5, y = −2. Если оно удовлетворяет остальным уравнениям, это и есть решение всей системы, если нет, то решения не существует. Итак, подставим эти числа в последнее уравнение, и получим 8 = 9. Решения не существует.

б) Добавление матрицы C ничего изменить не может, так как мы видели, что C = 2A + B. Если бы матрицу можно было разложить по A, B и C, то она раскладывалась бы и по A и B.

Р е ш е н и е. Элементы строк таковы, что для любого номера i выполнены равенства bi = ai + 1, и ci = ai + 2. Постараемся получить отсюда равенство, в которое входили бы только элементы строк. Нетрудно заметить, что таким равенством будет 2bi = ci + ai. Итак, вторая строка раскладывается по остальным: 2b = a + c. Строки линейно зависимы.

Глава V § 2

1. Пусть аффинные преобразования f и g в некоторой системе координат записаны соответственно формулами

x = a1x + b1y, y = a2x + b2y,

Докажите, что произведение g · f запишется такими же формулами, причем матрица коэффициентов будет равна

M = f(M ) выразится через столбец x из координат M равенством x = Ax. А столбец x из координат точки gf(M ) =

=g(f(M )) = g(M ) выразится как x = Cx = C(Ax) = (CA)x.

Конечно, тот же результат будет получен, если мы подставим

x и y из первой системы уравнений в правую часть второй системы и приведем подобные члены.

Р е ш е н и е. а) Столбец — матрица размеров 3 × 1. Ее нельзя умножить слева на матрицу размеров 1 × 1, так как при этом длина строки 1 первого сомножителя не равна высоте столбца 3.

б) Столбец можно умножить справа на матрицу размеров 1 × × 1, так как в этом случае длина строки 1 первого сомножителя равна высоте столбца 1 второго сомножителя.

3. Пусть a1, ... , an — столбцы матрицы A, а b1, ... , bn — строки матрицы B. Убедитесь, что

n

AB = aibi.

i=1

Р е ш е н и е. Сумма в правой части равенства — это сумма матриц, каждая из которых — произведение столбца на строку. Выпишем i-е слагаемое:

Рассмотрим элемент суммыn V1 + ... + Vn, стоящий в k-й строке и в l-м столбце. Он равен akibil, т. е. элементу AB, стоящему

на соответствующем местеi.=1

4. Верно ли, что для любых двух квадратных матриц одного и того же порядка

а) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2,

б) (A + B)2 + (A − B)2 = 2(A2 + B2)?

Р е ш е н и е. а) Выпишем подробнее (A + B)2 = (A + B) ×

вой частей равенства (а) равна BA − AB. Это означает, что равенство выполнено не всегда, а тогда и только тогда, когда матрицы коммутативны.

б) Точно так же выпишем подробнее левую часть равенства (б):

(A + B)2 + (A − B)2 = A2 + AB + BA + B2 + A2 − AB − BA + B2.

Приводя подобные члены, мы получим правую часть равенства. Таким образом, равенство выполнено для любых матриц.

5. Рассмотрим матричное уравнение X2 + E = O. а) Проверьте, что матрица

минах задачи 1?

б) Найдите все решения этого уравнения среди вещественных матриц второго порядка.

а) Аффинное преобразование, которое в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами x = −y; y = x, является поворотом на угол π/2. Его квадрат — поворот плоскости на π, т. е. центральная симметрия относительно нача-

и четвертое уравнения не могут быть выполнены. Следовательно, a = −d. Для того чтобы нашлись a и d, необходимо, чтобы bc + 1 0. При любых b и c, удовлетворяющих этому условию,

где b и c удовлетворяют условию bc + 1 0, а в остальном произвольны.

6. Поставим в соответствие каждому комплексному числу z = a + bi матрицу

Р е ш е н и е. Все равенства нетрудно проверить непосредственно. Но можно заметить, что

где I — матрица, определенная в задаче 5. Тогда, например, четвертое равенство проверяется так:

(a1E + b1I)(a2E + b2I) = (a1a2 − b1b2)E + (a1b2 + a2b1)I.

Для проверки последнего равенства напишем A(z−1). Так как z−1 = (a − bi)/(a2 + b2),

Ре ш е н и е. Составим матрицу

1 0 0 1 0 01 1 2 0 1 0 .

1 1 3 0 0 1D =

и вычтем вторую строку из третьей. Мы получим

Теперь удвоенную третью строку из второй:

Обратной матрицей будет матрица

1 0 0−1 3 −2 .

0 −1 1

8. Разложите матрицу из упражнения 7 в произведение элементарных.

Р е ш е н и е. Левая половина матрицы D в решении упражнения 7 совпадает с заданной матрицей A. Элементарными преобразованиями строк мы превратили эту матрицу в единичную. Это равносильно умножению матрицы слева на последовательность элементарных матриц. Выпишем эти матрицы:

Здесь произведение трех элементарных матриц равно матрице A−1, это ее разложение в произведение элементарных матриц. Чтобы получить разложение матрицы A, следует выписать произведение матриц обратных операций (иначе говоря, матриц, обратных к элементарным) в обратном порядке. Мы получим

соответствующую прибавлению удвоенной третьей строки ко второй, мы посчитали элементарной, хотя она раскладывается

т. е. умножение третьей строки на 2, прибавление третьей строки ко второй и умножение третьей строки на 1/2.

Необходимо добавить, что разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц неединственно. Другим путем можно получить совсем другое разложение той же матрицы.

а) Найдите ее ранг и какую-либо базисную подматрицу. б) Найдите коэффициенты разложения небазисной строки

по базисным строкам и небазисного столбца по базисным столбцам.

в) Прибавьте в матрице вторую строку к первой и убедитесь, что линейная зависимость между столбцами осталась прежней.

г) Сколько всего базисных подматриц в этой матрице?

Р е ш е н и е. Матрица достаточно проста, и ответы на некоторые или все вопросы можно усмотреть без вычислений. Но посмотрим, как следует действовать в общем случае. Приведем матрицу к упрощенному виду. Для этого вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на 4, и из третьей вычтем первую строку, умноженную на 7. Результат будет сле-