Беклемишев-Решения_задач

Р е ш е н и е. Поскольку базисные векторы не меняются, не меняются и их образы, а значит, коэффициенты a1, b1, a2 и b2 остаются неизменными. Образ начала координат теперь совпадает с началом координат, следовательно, в новой системе коорди-

нат c1 = c2 = 0.

7. Линейное преобразование в системе координат O, e1, e2 задано формулами

x = a1x + b1y + c1, y = a2x + b2y + c2.

Какими формулами оно задается в системе координат а) O,

e2, e1; б) O, e1, 2e2.

Р е ш е н и е. а) Если базисные векторы меняются местами, то меняются местами их образы, а, кроме того, у всех векторов меняются местами координаты. Поэтому в новой системе координат формулы будут следующими:

x = b2x + a2y + c2, y = b1x + a1y + c1.

б) При умножении второго базисного вектора на 2 его образ также умножается на 2. Кроме того, при этом у каждого вектора вторая координата уменьшается вдвое. Поэтому в новой системе координат формулы будут следующими:

8.Докажите, что линейное преобразование, задаваемое

вдекартовой прямоугольной системе координат формулами

—осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии.

Ре ш е н и е. Ось симметрии — прямая из неподвижных точек. Проверим, существует ли такая прямая у данного преобразования. Воспользуемся для этого системой уравнений, полученной при решении задачи 5. В нашем случае система имеет вид

Мы видим, что оба уравнения пропорциональны уравнению sin ϕ2 x − cos ϕ2 y = 0,

62 [ Гл. IV

которое и есть уравнение прямой, состоящей из неподвижных точек. Это прямая, проходящая через начало координат с направ-

Мы видим, что точка A лежит на том же перпендикуляре к прямой, состоящей из неподвижных точек, на расстоянии 1 от нее, т. е. симметрична с точкой A относительно этой прямой.

Теперь, на основании того что образы трех точек, не лежащих на одной прямой, определяют аффинное преобразование однозначно, мы можем утверждать, что это преобразование — действительно осевая симметрия относительно найденной прямой.

9. Может ли случиться, что произведение двух линейных преобразований — аффинное, если одно из них — не аффинное?

Р е ш е н и е. Не может. Действительно, пусть f — линейное, но не аффинное преобразование. Тогда образы базисных векторов коллинеарны, и, как нетрудно проверить, образы всех точек плоскости лежат на прямой, проходящей через образ начала координат с направляющим вектором, коллинеарным образам базисных векторов. (Может, конечно, быть, что f переводит все точки плоскости в одну, но и в этом случае тоже образы всех точек лежат на прямой.) Поэтому, каковы бы ни были преобразования g и h, при преобразованиях gf и fh образы всех точек плоскости лежат на некоторой прямой линии, что невозможно для аффинного преобразования.

10. Пусть аффинное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат задано формулами

x = x + by + c1, y = ax + c2.

Найдите векторы, ортогональные их образам.

Р е ш е н и е. Если вектор перпендикулярен своему образу, то его координаты α, β удовлетворяют равенству αα + ββ = 0. В нашем случае это приводит к уравнению α(α + bβ) + β(aα) =

= 0 или α2 + (a + b)αβ = 0. Это уравнение удовлетворяется при α = 0 и любом β, и значит, условию удовлетворяют все векторы с координатами (0, β). Если же a + b = 0, решениями также будут

каждую вершину в середину противоположной стороны.

Р е ш е н и е. Иначе говоря, каждая вершина переходит в основание медианы, начинающейся в этой вершине. Пусть точ-

сюда видно, что точка пересечения медиан треугольника переходит в точку пересечения медиан его образа. Если A , B и C — середины сторон ABC, то точки пресечения медиан треугольников ABC и A B C совпадают. Поэтому точка P

что таким же образом преобразуются радиус-векторы всех точек, и преобразование — гомотетия с коэффициентом −12 и цен-

тром P.

Для данного в задаче треугольника точка P совпадает с на-

12. Докажите, что преобразование из задачи 8 есть произведение gf осевой симметрии f относительно оси абсцисс и поворота g на угол ϕ вокруг начала координат. Какое преобразование получится, если f и g перемножить в другом порядке?

Р е ш е н и е. Осевая симметрия f переводит точку M (x, y) в точку M с координатами

x = x, y = −y,

Это как раз формулы, задающие преобразование из задачи 8. Произведение fg определяется формулами, получаемыми под-

становкой

Заменяя ϕ на −ϕ, мы с помощью результата задачи 8 увидим, что fg — осевая симметрия относительно прямой с уравнением

−x sin ϕ2 − y cos ϕ2 = 0,

составляющей с осью абсцисс угол −ϕ/2.

13. Пусть аффинное преобразование имеет одну единственную неподвижную точку. Докажите, что в этом случае каждая инвариантная прямая (если такие прямые существуют) проходит через эту точку.

Р е ш е н и е. Для доказательства подумаем, обязательно ли на инвариантной прямой есть неподвижная точка и сколько их может быть. Пусть прямая задана векторным параметрическим

стям равенства, мы получим векторное параметрическое уравнение образа прямой относительно начала O:

Если прямая инвариантна, то M — точка этой же прямой, и существует значение параметра t = μ, при котором

66 [ Гл. IV

1

Следовательно, S = 3 .

2. Пусть при аффинном преобразовании точки A, B и C перешли в точки A , B и C . Докажите, что точка пересечения медиан ABC перейдет в точку пересечения медиан

A B C .

Р е ш е н и е. Середины сторон треугольника ABC переходят в середины сторон его образа. Поэтому медианы треугольника A B C — образы медиан ABC.

В задаче 11 § 2 решался фактически тот же вопрос. Но там наши средства были ограничены, и решение получилось более длинным.

3. Будем говорить, что аффинное преобразование растягивает вектор a в α раз, если |a | = α|a|. Для преобразования, заданного в декартовой прямоугольной системе координат

формулами

x = 4x + 7y, y = 8x + y,

найдите векторы, для которых растяжение а) максимально, б) минимально.

Р е ш е н и е. Все коллинеарные между собой векторы растягиваются в одном и том же отношении, поэтому достаточно сравнить между собой отношения, в которые растягиваются всевозможные векторы длины 1. При аффинном преобразовании окружность радиуса 1 преобразуется в эллипс с полуосями a и b. При этом очевидно, что в максимальное число раз a растянется тот из радиусов окружности, который перейдет в большую полуось эллипса, а минимальное растяжение b будет у того радиуса, который перейдет в малую полуось. Как было показано при доказательстве предложения 7 (см. К. § 3 гл. V), эти радиусы

5. Докажите, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях симметрии.

Р е ш е н и е. Переведем каким-либо аффинным преобразованием эллипс в окружность. Центр эллипса перейдет в центр окружности, и диаметры эллипса — в диаметры окружности. Ромб, как и всякий параллелограмм, перейдет в параллелограмм. Этот параллелограмм, в силу результата задачи 4, будет описан около окружности и, следовательно, тоже будет ромбом. Диагонали ромба, описанного около окружности, — два ее перпендикулярных (и потому сопряженных) диаметра. Поэтому их прообразы — диагонали исходного ромба — сопряженные диаметры эллипса. Но они, кроме того, перпендикулярны. Следовательно они являются осями симметрии эллипса.

6. Представьте как произведение двух осевых симметрий а) параллельный перенос на вектор a, б) поворот на угол ϕ вокруг точки O.

Р е ш е н и е. а) Произведение осевых симметрий, оси которых непараллельны, имеет неподвижную точку. Следовательно, если параллельный перенос представлен как произведение осевых симметрий, оси их параллельны. В каждой из осевых симметрий точка сдвигается в направлении, перпендикулярном оси. Поэтому оси должны быть перпендикулярны вектору a.

Выберем декартову прямоугольную систему координат, ось абсцисс которой сонаправлена с a, и рассмотрим произведение осевых симметрий относительно оси ординат и относительно прямой x = h, h > 0. Они задаются соответственно уравнениями

x = −x, y = y и x = 2h − x , y = y.

Действительно, при втором преобразовании (x + x )/2 = h. Произведение этих симметрий будет преобразованием x = x + 2h, y = y, которое является параллельным переносом на 2h вдоль оси абсцисс. При |a| = 2h это преобразование — параллельный перенос на a.

Осью ординат здесь может быть произвольная прямая, перпендикулярная a. Поэтому мы можем заключить, что параллельный перенос на a — произведение симметрий относительно любых двух прямых, которые перпендикулярны a и расположены на расстоянии |a|/2 одна от другой. При этом предполагается, что ось второй симметрии сдвинута относительно оси первой в направлении a.

б) При повороте вокруг точки O эта точка остается неподвижной. Следовательно, если поворот представлен как произведение осевых симметрий, оси должны пересекаться в точке O. Выберем декартову прямоугольную систему координат с началом в точке O и рассмотрим произведение осевой симметрии относительно оси абсцисс и осевой симметрии относительно прямой, составляющей с осью абсцисс угол θ. Первая задается уравнениями x = x, y = −y. При симметрии относительно прямой x sin θ − y cos θ = 0 точка M (x , y ) перейдет точку M (x , y ),

Теперь видно, что наша осевая симметрия задается уравнениями x = x −2(x sin θ −y cos θ) sin θ = x (1 −2 sin2 θ) + y (2 cos θ sin θ), y = y + 2(x sin θ −y cos θ) cos θ = x (2 cos θ sin θ) + y (1 −2 cos2 θ),

т. е. является поворотом на угол 2θ. Вспомним, что прямоугольная система координат выбиралась с единственным условием — чтобы начало координат было в точке O. Направления осей были выбраны произвольною Отсюда мы можем сделать вывод, что поворот плоскости на угол ϕ вокруг точки O может быть представлен как произведение двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точке O под углом θ = ϕ/2, при том условии, что угол от оси первой симметрии до оси второй отсчитывается в ту же сторону, что и угол ϕ.

Другое решение этой задачи мы получим, если вспомним задачи 8 и 12 § 2. Там осевая симметрия h была разложена в произведение gf осевой симметрии f относительно оси абсцисс и поворота g на угол ϕ вокруг начала координат. Но из h = gf следует g = hf−1 или g = hf (поскольку для осевой симметрии

f−1 = f). Это и есть разложение поворота в произведение двух осевых симметрий.

7. Представьте сжатие к оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат как произведение параллельного переноса на a(0, a) и сжатия к другой прямой.

Р е ш е н и е. Нам нужно исходное сжатие h в отношении λ к оси абсцисс представить как произведение gf, где f — параллельный перенос, а g — сжатие к прямой. Заметим, что преобразование g однозначно определено, поскольку f имеет обратное и g = hf−1. Итак, найдем g.

Преобразования f−1 и h задаются соответственно формулами

Подставляя, получаем координатную запись преобразования g:

x = x, y = λ(y − a) = λy − λa.

Выясним его геометрический смысл. Для этого рассмотрим сжатие к прямой y = c в отношении λ:

x = x, y − c = λ(y − c).

Преобразуем второе уравнение: y = λy + (1 − λ)c. Это совпадает с написанным выше уравнением для h, если λa = (λ − 1)c. Для каждого a найдется такое c = λa/(λ − 1), так как мы можем считать, что λ = 1.

Итак, сжатие к оси абсцисс в отношении λ представлено как произведение параллельного переноса на a вдоль оси ординат

исжатия в том же отношении λ к прямой y = λa/(λ − 1).

8.Может ли произведение двух поворотов плоскости быть параллельным переносом?

Р е ш е н и е. Да, конечно. Поворот на нулевой угол — это параллельный перенос на нулевой вектор. Но этот случай мы оставим в стороне. Если мы хотим, чтобы произведение двух поворотов было ненулевым параллельным переносом, то нужно, чтобы, во-первых, повороты производились вокруг различных точек (иначе у произведения будет неподвижная точка), а вовторых, сумма углов первого и второго поворотов должна быть равна нулю. Посмотрим, достаточно ли этих условий.

Выберем декартову прямоугольную систему координат и рассмотрим поворот вокруг точки Q(a, b) на угол ϕ и поворот вокруг начала координат на угол −ϕ. Получим координатную запись