Беклемишев-Решения_задач

Таким образом, произведение αβ — верхняя грань отношения |ABx|/|x| и по определению не меньше точной верхней грани γ.

11 . Докажите, что все корни характеристического многочлена ортогонального преобразования по модулю равны единице.

Р е ш е н и е. Вещественные корни являются собственными значениями и равны по модулю 1, так как для собственного вектора x с собственным значением λ должно быть |A(x)| = |x|

и |A(x)| = |λ| |x|.

Осталось проверить утверждение для комплексных (не вещественных) корней. Пусть λ такой корень. Как известно, ему соответствует двумерное инвариантное подпространство E , не содержащее собственных векторов A. Обозначим через A ограничение A на E . Это ортогональное преобразование, а следовательно, в ортонормированном базисе его матрица A ортогональная, и det A = ±1. Ортогональная матрица второго порядка

сдетерминантом, равным (−1), симметрична, и преобразование

стакой матрицей имеет собственный вектор, чего в подпространстве E быть не может. Следовательно, det A = 1

Пусть теперь базис в E составляют векторы e и A(e). Вспом- ним, что E Ker (A2 − pA + qE), где p = λ + λ, а q = λλ.

Поскольку A(A(e)) = A2(e) = pA(e) − qe, матрицей преобразова-

не зависит от базиса: det A = det A = 1. Таким образом, λλ = 1, как и требовалось.

Глава VII § 3

1. В пространстве многочленов степени 3 скалярное произведение зададим так же, как в задаче 1 § 1. Линейная функция f ставит в соответствие многочлену p(t) его свободный член p(0). Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.

6 Д. В. Беклемишев

Из второго и четвертого уравнений следует, что q1 = q3 = 0, а из первого и третьего — что q0 = 9/8, а q2 = −15/8. Итак,

q(t) = 9 − 15t2 .

8

2. Линейное преобразование A присоединено к билинейной функции b. К какой билинейной функции присоединено его сопряженное преобразование A ?

Р е ш е н и е. Вспомним определение преобразования A , сопряженного преобразованию A. Для любых векторов x и y должно быть выполнено равенство (x, A (y)) = (A(x), y). Если b — билинейная функция, присоединенная к преобразованию A , то левая часть равенства — значение b (x, y).

Правая часть равенства в силу коммутативности скалярного произведения может быть записана как (y, A(x)) = b(y, x), где b — билинейная функция, присоединенная к преобразованию A. Итак, b определяется равенством

b (x, y) = b(y, x).

3. В базисе e билинейная функция имеет матрицу B. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если Γ —

Ре ш е н и е. Как известно, матрица билинейной функции B

иматрица ее присоединенного преобразования A связаны равен-

4. Докажите, что значение квадратичной формы k(x) на векторе x длины 1 заключено между наименьшим и наибольшим собственными значениями ее присоединенного преобразования и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.

Р е ш е н и е. Выберем ортонормированный базис, в котором матрица k имеет диагональный вид. Тогда значение формы на векторе x с компонентами ξ1, ... , ξn равно

k(x) = λ1(ξ1)2 + ... + λn(ξn)2,

6*

канонический вид, а k — диагональный, то, умножив базисные векторы на подходящие множители, мы приведем k к каноническому виду. Канонический вид h, конечно, будет утрачен, но диагональный вид сохранится.

7. Приведите пример двух квадратичных форм, которые а) не приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе, б) приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе, но ни одна из них не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной.

Р е ш е н и е. а) Такими квадратичными формами являются,

например, формы k(x) = ξ12 − ξ22 и h(x) = 2ξ1ξ2. Наводящие соображения следующие: если приравнять значения этих квадра-

тичных форм единице, то получатся уравнения гипербол с центрами в начале координат. Левая часть уравнения гиперболы, — разность квадратов тогда и только тогда, когда базисные векторы имеют направления, сопряженные относительно гиперболы. Но два направления, сопряженные для одной гиперболы — асимптотические направления для другой. На этом пути можно было бы получить полное доказательство, но непосредственная проверка проще.

Допустим, что замена базиса с матрицей перехода S приводит обе квадратичные формы к диагональному виду, и посмотрим, какие условия это накладывает на элементы S. Обозначим матрицы квадратичных форм k и h и матрицу перехода соответ-

Р е ш е н и е. 1◦. Достаточность. Пусть заданы две квадратичные формы k и h, и форма g = αk + βh положительно определенная. Мы можем считать, что αβ = 0, так как если бы один из коэффициентов равнялся нулю, одна из двух форм была бы положительно определенной, и проблемы бы не было.

В силу теоремы две квадратичные формы h и g можно одновременно привести к диагональному виду. Но форма k является их линейной комбинацией: k = α−1g − α−1βh. Поэтому k также имеет диагональный вид. Действительно, ее матрица — линейная комбинация двух диагональных матриц.

2◦. Необходимость. Пусть две квадратичные формы в двумерном пространстве в одном базисе имеют диагональный вид:

Это условие равносильно системе линейных уравнений

λ1α + μ1β = 1, λ2α + μ2β = 1.

Но детерминант этой системы отличен от нуля, и система совместна. Это заканчивает доказательство.

В доказательстве достаточности никаких предположений о размерности пространства не делалось, и условие достаточно при любой размерности. Уже при размерности пространства, равной трем, условие не является необходимым: квадратичные формы k = ξ12 и h = ξ32 обе имеют диагональный вид, но любая их линейная комбинация имеет ранг не больше 2 и потому не может быть положительно определенной.

Глава VII § 4

1. В двумерном унитарном пространстве дан ортонормированный базис и векторы a и b, координаты которых в этом базисе соответственно 1 + i, 1 − i и −i, 2 − 2i.