Беклемишев-Решения_задач

с какого вектора начинается последняя. Для этого напишем матрицу (A − E)2:

Здесь видно, что Im (A − E)2, натянутое на векторы, координаты которых — столбцы (A − E)2, совпадает с линейной оболочкой f1. Поэтому цепочка длины 3 начинается с этого вектора. Найдем ее.

Вектор, присоединенный к f1, находится из системы (A − − E)x = f1. Напишем расширенную матрицу этой системы:

В этой матрице, как легко заметить, четвертый столбец только знаком отличается от столбца свободных членов. Поэтому одним из решений этой системы является столбец f1 = 0 0 0 −1 0 T, а вектор f1 с таким координатным столбцом — первый присоединенный к вектору f1.

Второй присоединенный вектор находится из системы линейных уравнений (A − E)x = f1. Расширенная матрица этой системы имеет вид

В этой матрице можно заметить, что столбец свободных членов f1 равен разности третьего столбца и удвоенного пятого, и, следовательно, одним из решений будет f1 = 0 0 1 0 −2 T. Вторым присоединенным вектором будет вектор f1 с координатным столбцом f1 .

Цепочку длины 2 можно начать с любого вектора (кроме, конечно, f1). Начнем ее с f2. Вектор, присоединенный к f2, находится из системы (A − E)x = f2. В расширенной матрице этой системы первая строка отличается знаком от третьей, а пятая — нулевая. Напишем матрицу из остальных строк:

(Мы вычли третью строку из первой, после чего умножили третью строку на 2.) Первые две переменные небазисные, положим их равными нулю и получим решение f2 = 0 0 2 0 −2 T.

Итак, жорданов базис преобразования A построен. Сформулируем результат. Переходя к базису f1, f1, f1 , f2, f2 с помощью матрицы перехода

мы приведем матрицу преобразования к жордановой форме

Глава VII § 1

1.Проверьте, что в пространстве многочленов степени

2 скалярное произведение можно определить формулой

1

(p, q) = p(t)q(t) dt.

−1

а) Составьте матрицу Грама базиса 1, t, t2. б) С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, (t − 1), (t − 1)2. в) Найдите угол между многочленами t2 + 1 и t + 1.

Р е ш е н и е. Проверим определение, для того чтобы убедиться, что данная формула действительно определяет скалярное произведение. Коммутативность следует из коммутативности умножения многочленов, линейность по первому сомножителю — из линейности определенного интеграла.

Интеграл от квадрата многочлена — неотрицательной функции — неотрицателен. Далее, если интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен нулю, то эта функция тождественно равна нулю. Поэтому из

1

(p, p) = (p(t))2 dt = 0

−1

следует (p(t))2 = 0 для всех t [−1, 1]. Но если многочлен обращается в нуль на целом отрезке, то он — нулевой. Поэтому нулевым является и многочлен p.

а) По определению элемент матрицы Грама базиса e1, e2, e3 равен gij = (ei, ej ). В нашем случае базис состоит из многочленов 1, t и t2, и нам нужно проинтегрировать все их попарные произведения от −1 до 1. Учтем, что интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен нулю. Кроме того,

Р е ш е н и е. Прежде всего найдем какой-либо базис в данном подпространстве, а затем применим к этому базису процесс ортогонализации. Напишем фундаментальную матрицу уравнения, задающего подпространство:

и f3, составляющих базис в подпространстве. Ортогонализуем их.