- •Теория автоматического управления
- •Рецензент кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики и телемеханики фгбоу впо «ВятГу» в. Н. Поздин
- •Общие вопросы
- •1.1. Цель и задачи лабораторного практикума
- •1.2. Общие методические указания
- •2. Частотные характеристики и переходные процессы в сау
- •Программа самостоятельной работы
- •Программа работ в лаборатории
- •2.1.3. Методические указания к работе № 1
- •Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •2.2.1. Цель работы
- •2.2.2. Задание к работе
- •2.2.3. Методические указания к лабораторной работе № 2
- •Вопросы для самопроверки
- •Программа работы в лаборатории
- •3.1.3. Методические указания к лабораторной работе № 3
- •Вопросы для самоконтроля
- •3.2. Лабораторная работа № 4. Система с параллельным корректирующим устройством
- •3.2.1. Цель работы
- •3.2.2. Задание к работе
- •Программа самостоятельной работы
- •Программа работы в лаборатории
- •3.2.3. Методические указания к лабораторной работе № 4
- •Вопросы для самопроверки
- •4.1.3. Методические указания к лабораторной работе № 5
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Лабораторная работа № 6. Система с импульсным элементом
- •4.2.1. Цель работы
- •4.2.2. Задание к работе
- •Программа самостоятельной работы
- •4.2.3. Методические указания к лабораторной работе № 6
- •Вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Теория автоматического управления
2. Частотные характеристики и переходные процессы в сау
2.1. Лабораторная работа № 1. Последовательное соединение звеньев
2.1.1. Цель работы
Изучить свойства типовых динамических звеньев и системы, состоящей из последовательного соединения звеньев первого порядка. Научиться, по виду ЛАЧХ оценивать характер переходных процессов при ступенчатом входном воздействии.
2.1.2. Задание к работе
Р
Таблица 1
Вариант | |||||||||
1-1 1-2 1-3 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0.5 4 4 |
1 1 0 |
1 1 1 |
0.156 0.156 0.156 |
0.1 0.1 0.1 |
0.176 0.176 0.176 |
0.2 0.2 0.2 |
2-1 2-2 2-3 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0.5 4 4 |
1 1 0 |
1 1 1 |
0.208 0.208 0.208 |
0.1 0.1 0.1 |
0.264 0.264 0.264 |
0.2 0.2 0.2 |
3-1 3-2 3-3 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0.5 4 4 |
1 1 0 |
1 1 1 |
0.412 0.412 0.412 |
0.2 0.2 0.2 |
0.088 0.088 0.088 |
0.44 0.44 0.44 |
4-1 4-2 4-3 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0.5 2 2 |
1 1 0 |
1 1 1 |
0.208 0.208 0.208 |
0.1 0.1 0.1 |
0.176 0.176 0.176 |
0.44 0.44 0.44 |
Программа самостоятельной работы
1. По заданным параметрам своего варианта (табл. 1) рассчитать и построить аппроксимированные и точные логарифмические амплитудные (ЛАЧХ) и фазовые (ЛФЧХ) частотные характеристики каскадов звеньев: 1; 1-2; 1-2-5-3.
2. По заданным вариантам остальных двух членов бригады построить аппроксимированные ЛАЧХ каскада 1-2-5-3.
3. Построить приближенные переходные функции и определить основные показатели переходного процесса при ступенчатом входном воздействии в указанных каскадах звеньев (1; 1-2; 1-2-5-3) для своего варианта и в каскаде 1-2-5-3 для остальных вариантов своей бригады.
4. Результаты расчёта свести в таблицы и графики.
Программа работ в лаборатории
Собрать исследуемую систему в рабочем поле компьютера в соответствии с заданной структурной схемой (рис. 1).
С помощью компьютера снять кривые переходных процессов на выходах 1,2 и 3 звеньев системы при подаче на вход звена 1 единичного ступенчатого воздействия.
Определить основные показатели переходных процессов (установившееся и максимальноеотклонения, перерегулирование, время переходного процесса ), занести в таблицы и сопоставить их с расчётными значениями.
2.1.3. Методические указания к работе № 1
При последовательном соединении n звеньев с передаточными функциями , АЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ – соответственно, результирующиеравны
. (1.1)
В исследуемой САУ звенья 1, 2, 3 являются апериодическими (или инерционными). Апериодическое звено описывается во времени дифференциальным неоднородным уравнением 1-го порядка
. (1.2)
Его передаточная функция и частотные характеристики имеют вид
(1.3)
При k =1, зависят лишь от значений, что позволяет строить их однообразно. Значения(ЛАЧХ при=0, т. е. lg=-) равны lg k, например, при k=1 равны нулю, при k >1 лежат выше оси абсцисс, а при k <1 – ниже оси абсцисс. Данные расчета ЛАЧХ при k= 1 и ЛФЧХ по формулам (1.3) приведены в таблице (рис. 2), причем если построение вести в масштабах, рекомендованных в п. 1.2.3, то шаг по оси абсцисс lg равен 1 см. Значения lg=lgТ равны нулю при собственной частоте (частоте сопряжения участков аппроксимированной ЛАЧХ), отрицательны – прии положительны – при.
На рис. 2 приведены уточнённые ЛАЧХ() и ЛФЧХ () звеньев 1 и 2 приТ1=0,1с (),k1=2, Т2=0,25 с, k1·Т2=0,5 с, (), рассчитанные по формулам (1.1). Там же приведены ЛАЧХ, аппроксимированные отрезками прямых линий.
Для ускорения процесса построения ЛЧХ апериодических звеньев рекомендуется вырезать из картона шаблоны L и (заштриховано на рис.2). При этом уточнённые ЛЧХ апериодического звена строятся в следующем порядке:
находится частота сопряжения ;
вычерчивается аппроксимированная ЛАЧХ в виде отрезка прямой с нулевым наклоном, проведенной по координате lgk до частоты сопряжения , и отрезка с наклоном – 1 лог на декаду (на рис. 2) и частотах большихlg;
накладывается шаблон, как указано на рис. 2, и вычерчиваются уточненные ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Переходная функция апериодического звена, т. е. изменение при ступенчатом единичном воздействии на входе, может быть найдена решением уравнения (1.2):
. (1.4)
На рис. 2 представлена таблица , рассчитанная по формуле (1.4), и кривые переходных функцийи для звеньев 1 и 2 с указанными выше значениями параметров. Там же приведена расчётная переходная функция для САУ, состоящей из двух апериодических звеньев 1 и 2, соединённых последовательно. С достаточной степенью точности её можно представить в виде экспонентыс большой постоянной (в данном примере), запаздывающей на малую постоянную ().
Звено 5 при , являющееся форсирующим звеном первого порядка с коэффициентом форсировкии постоянной времени, может быть представлено в виде последовательного соединения двух звеньев:
– апериодического
;
– обратного апериодического (пропорционально-дифференцирующего) ,
Рис. 2. ЛЧХ и переходные функции апериодических звеньев
с частотами сопряжения, соответственно, и. ЛАЧХ и ЛФЧХиявляющиеся зеркальным отображением относительно оси абсцисс прямого апериодического звена с постоянной времени, могут быть также построены с помощью шаблона. На рис. 3 представлены ЛЧХ составных частей,и,, а также ЛЧХ звена 5 в целом,приk3>1; ,– приk3<1. Переходная функция звена 5 в этом случае описывается уравнением
, (1.5)
(она представлена на рис. 3 в виде кривой x51 для случая k3=4).
При k4=0, k5=1 звено 5 является реальным дифференцирующим звеном первого порядка, т. е. вместо пропорционально-дифференцирующего звена будет идеально-дифференцирующее звено . Переходная функция звена 5 в целом описывается в этом случае уравнением
, где ,(1.6)
(ЛЧХ(), переходная функцияи таблица расчетапредставлены на рис. 3).
При звено 5 является пропорционально-интегрирующим звеном, ЛЧХ которого (приk3=0,5<1) представлено кривыми L54, φ54 на рис. 3.
Переходная функция форсирующего звена может быть найдена по выражению
.
На рис. 3 приведены
1) ЛАЧХ L1, ЛФЧХ и переходная функция для форсирующего звена с параметрамиk3 = 2 (k = 4), T4 = 0,2 c (T= 0,1 c);
2) ЛАЧХ L2, ЛЧФХ и переходная функциядля форсирующего звена с параметрамиk3 = 0,5 (k= 0,25), T4 = 0,2 с ( T= 0,4 с);
3) при k4 = 0, k5 = 1 звено 5 является реальным дифференцирующим звеном 1-го порядка с коэффициентом форсировки и постоянной времени. Переходная функция этого звена может быть найдена по выражению
.
На рис. 3 приведены ЛАЧХ L3, ЛФЧХ , кривая и таблица с данными переходной функцииреального дифференцирующего звена с параметрамиk3 = 2 (k = 4), T4 = 0,2 с (T= 0,1 c);
4) при k4 = 1, k5 = 0 звено 5 является пропорционально-интегрирующим звеном с коэффициентом усиления пропорциональной составляющей и постоянной интегрирования. Его ЛАЧХ (приk3=0,5<1) представлена кривыми ,на рис. 3. Переходная функция может быть найдена по выражению
.
На рис. 3 приведены ЛАЧХ L4, ЛФЧХ 4 и переходная функция пропорционально-интегрирующего звена с параметрамиk3 = 0,5 (k = 0,25), Т4 = 0,2 с (Т = 0,4 с).
Во всех рассмотренных случаях наблюдается однозначная зависимость между формой ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев. Такие звенья и САУ, состоящая из этих звеньев, называются минимально-фазовыми.
При сопоставлении ЛАЧХ и соответствующих им переходных функций можно убедиться в следующем:
1) установившееся значение выходной величины определяется ординатой ЛАЧХ L(0) при нулевой частоте, т. е. = 10L(0);
2) начальное значение выходной величины определяется ординатой ЛАЧХ при = , т. е. = 10L();
3) переходный процесс протекает без перерегулирования, если ординаты ЛАХ на всех частотах не превышают ординаты ЛАХ при нулевой частоте;
4) максимум в ЛАХ свидетельствует о том, что переходный процесс протекает с перерегулированием. Максимальное отклонение выходной величины приблизительно равно входному сигналу, умноженному на максимальное значение коэффициента усиления амплитуды АЧХ (km=10Lm);;
5) переходный процесс до достижения максимума протекает приблизительно по экспоненте, сдвинутой на время постоянного запаздывания. Экспонента имеет постоянную времени, которая определяется изменением наклона ЛАХ с нулевого (0) на единичный отрицательный (–1). Время постоянного запаздывания равно сумме постоянных времени, определяющих дальнейшее увеличение отрицательного наклона ЛАХ в области высоких частот;
6) переходный процесс после достижения максимума идёт приблизительно по экспоненте с постоянной времени, которая определяется изменением наклона аппроксимированной ЛАХ с единичного положительного (+1) на нулевой (0).
Построив отдельных звеньев, результирующиепри последовательном соединении в соответствии с формулой (1.1) получаются путём сложения ординатпри постоянной абсциссе. Варианты параметров в пределах одной бригады подобраны так, чтобы охватить основные виды результирующих ЛАЧХ САУ (рис. 4).
Определение показателей регулирования по результирующей ЛАЧХ минимально-фазовой САУ основано на построении приближённой кривой переходного процесса. При этом можно рекомендовать следующую методику:
1) построить аппроксимированную отрезками прямых с наклонами 1, 0, –1, –2, –3, … лог/дек результирующую ЛАЧХ системы. При этом будут получены аппроксимированные ЛАЧХ типа 1, 2, 3 (рис. 4);
2) определить частоты точек сопряжения отрезков с +1 и 0 наклоном , с 0 и –1 наклонами, с –1 и –2 наклономи т.д.;
3) определить значения амплитуд, соответствующих максимальным и установившимся значениям ЛАЧХ ;
4) на оси времени кривой переходного процесса (рис. 5) отложить отрезок, соответствующий , а из полученной точки на прямуюk1 отложить подкасательную τ1 и соответствующей кривой нарастания x экспоненту;
5) для ЛАЧХ типа 1 кривая переходного процесса 1 может быть получена путём плавного перехода из начала координат на полученную экспоненту;
Рис. 3. ЛЧХ и переходные функции звена 5
6) для ЛАЧХ типа 2 и 3 необходимо построить экспоненту с подкасательной , соответствующую спадающему участку кривой переходного процесса. Результирующая кривая 2, 3 переходного процесса может быть получена путём плавного перехода с нарастающего участка на экспоненту, соответствующую спадающему участку кривой переходного процесса до установившегося значения (k2 , 0).
Определение основных показателей регулирования:
1) время регулирования – это время достижения установившегося значенияс заданной точностью (для силовых САУ обычно = 0,05 или 0,02);
2) максимальное значение;
3) перерегулирование ;
4) колебательность , округлённое до целого,
где ТK – период колебаний.
Последний показатель колебательности M определяется для замкнутых САУ или при наличии колебательных звеньев, т. е. в лабораторной работе № 1 M = 0.
При = 0 перерегулирование смысла не имеет и поэтому не определяется.
Данные расчёта показателей регулирования заносятся в таблицу (рис. 4).