Тема 6. Элементы высшей алгебры

Лекция 1.6.1. «Элементы высшей алгебры»

Учебные вопросы:

1. Комплексные числа

2. Действия над комплексными числами

1. Комплексные числа

Число называется мнимой единицей. Можно рассматривать мнимую единицу как формальный объект, который имеет следующее свойство:

Комплексные числа - это парадействительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное числозаписывают как

Число называетсядействительной частью числа , а число—мнимой частью числа . Их обозначаютисоответственно:

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости.

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Пусть Тогда числоназываетсякомплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу .

Модулем комплексного числа называется число- длина отрезкана комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Аргумент комплексного числа - это угол между осьюOX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan =b / a . 

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент :

 

 

2. Действия над комплексными числами

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом.

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di  называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

   1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2)  число i  обладает основным свойством:  i ² = –1.

 Деление. Разделить комплексное число  a+bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+fi  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Примеры.

1. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Полагаем . Вычислим модуль комплексного числа.

На основе соотношения вычислим– аргумент комплексного числа. Теперь можно записать комплексное число в тригонометрической форме

, .

Используя формулу Эйлера, переходим к показательной форме комплексного числа:

,

2. Выполнить деление комплексных чисел .

Решение.

3. Вычислить .

Решение. Полагаем . Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме (см. пример 1).

,

Далее применим формулу Муавра

4. Вычислить .

Решение. Полагаем . Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме (см. пример 1).

,

Далее применим формулу

,

,

При имеем

При имеем

Таким образом, .