- •Конспект лекций
- •2. Основные операции над матрицами
- •Тема 2 Определители и их свойства.
- •1. Определители и их свойства
- •2. Ранг матрицы
- •3. Обратная матрица
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры в экономике
- •1. Линейная модель международной торговли
- •2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Тема 4 Системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера Капелли
- •2. Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера
- •1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
- •2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Тема 5 Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы. Координаты вектора
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Скалярное и векторное произведение векторов
- •Тема 6. Элементы высшей алгебры
- •Тема 7 Элементы аналитической геометрии
- •1. Уравнение линии на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •3. Полярные координаты
- •1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы
- •2. Преобразования декартовой системы координат на плоскости
Институт экономики, управления и права (г. Казань)
Кафедра высшей математики
Конспект лекций
ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Направление подготовки
080100.62 «Экономика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Набережные Челны 2013
Тема 1 Матрицы и операции над ними
Лекция 1.1.1 «Матрицы и операции над ними»
Учебные вопросы:
Матрицы, виды матриц
Основные операции над матрицами
1. Матрицы, виды матриц
Таблицу
называют (прямоугольной) матрицей размера . Элементы называютсяэлементами матрицы; элемент расположен в-йстроке и в -мстолбце матрицы; есть число строк, а–число столбцов.
Пример. Матрица имеет размер, 2 строки и 3 столбца.
Если в матрице число строк равняется числу столбцов (матрица размера), то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Квадратная матрица =() называется:
симметричной относительно главной диагонали, если =;
диагональной, если =0 при(все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю);
треугольной (наддиагональной), если =0 при(все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю);
строго треугольной, если =0 при(все элементы, стоящие на главной диагонали и ниже ее, равны нулю).
Пример. Матрица квадратная 3-го порядка; матрица
симметричная относительно главной диагонали; матрица диагональная; матрица треугольная (наддиагональная); матрица строго треугольная.
Единичной матрицей называется диагональная матрица с единичными диагональными элементами:
, где
Пример. Матрица единичная матрица 2-го порядка.
Матрица размера
называется столбцом, а матрица размера
– строчкой.
Нулевой матрицей размераназывается матрица этого размера, все элементы которой равны нулю.
Пример. Матрица нулевая матрица размера .
Матрицей, транспонированной по отношению к матрице =() размера, называется матрица=() размера(столбцы матрицыявляются строками матрицыс теми же номерами).
Пример. Пусть . Транспонированной матрицейбудет
.
2. Основные операции над матрицами
Две матрицы =() и=()равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.
,
если
=
для всех и.
Сумма двух матриц =() и=() размераесть матрица=() размера, у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.
,
если
=+
для всех и.
Произведение матрицы =() размерана число есть матрицаразмера, у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы, умноженным на:
=()=().
Пример. Даны матрицы и. Найти матрицу.
◄ ===
==. ►
Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавлениепротивоположной матрицы –(–):
=.
Произведение матрицы =() размерана матрицу =()размера есть матрица=() размера
()()(),
где
=.
Таким образом, элемент матрицыесть сумма произведений элементов-й строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы. В каждом произведении матрицформа матриц идолжна быть согласованной: число столбцов матрицыдолжно равняться числу строк матрицы. Из существования произведениявовсене следует существование произведения .Если существуют оба произведенияи(это, в частности, будет всегда, еслии– квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря,.
Пример. Даны матрицы и. Найти.
◄ ==
==. ►
Для операций над матрицами справедливы следующие соотношения
(,– числа,,,– матрицы,– единичная матрица):
, ,
, ,
, ,
, ,
(– квадратная матрица).