2. Линейные операции над векторами

Сумма векторов есть вектор, соответствующий их геометрической сумме (правило параллелограмма) (рис. 4.10). Из рис. 4.10 видно, что если конец вектора совмещен (параллельным перемещением) с началом вектора, то векторбудетсоединять начало вектора с концом вектора.

Вычитание векторов есть сумма вектора с вектором (), который противоположен вектору:(рис. 4.11).

Если векторы изаданы своими координатами:,, то

=. (4.5)

Вектор можно представить в виде суммы трех его компонент по координатным осям (рис. 4.7):

(4.6)

Эта сумма называется разложением вектора по базисным векторам (базису). Отсюда следует, что координаты вектора – это коэффициенты в разложении (4.6) вектора по базисным векторам.

Произведение вектора на скаляр (число) есть вектор, который коллинеарен вектору, имеет длинуи направлен в ту же сторону, что и вектор , если, и в противоположную сторону, если. Если вектор задан своими координатами:, то

=. (4.7)

Сложение векторов и умножение их на скаляры удовлетворяют соотношениям (и– числа):

.

Пример. Найти координаты вектора , если,.

◄ По заданным разложениям векторов по базису находим их координаты: ,. Используя (4.5) и (4.7), получаем►

3. Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов (обозначают также) есть скаляр (число)

=, (4.8)

где – угол между векторамии(рис. 4.12).

Для острого угла между векторами иих скалярное произведение, а для тупого –. Если они взаимно перпендикулярны

(), то. Для коллинеарных векторовискалярное произведение=, где “+” для однонаправленных векторов, а “–“ ― для противоположно направленных. В частности=, что позволяет записать длину векторав виде=(отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»).

Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: ,,,. Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторыизаданы своими декартовыми координатами:,, то их скалярное произведение

=. (4.9)

Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами

. (4.10)

Свойства скалярного произведения:

=;;

; ;

.

Пример. Вычислить , если,.

◄ Используя свойства скалярного произведения, имеем =

=.►

Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: ,,. Найти угол в треугольнике при вершинеи длину стороны.

◄ Проведем из вершины векторы в вершиныи(рис. 4.13). Тогда угол при вершинебудет равен углу между векторамии, а длина стороныравна длине вектора. Находим координаты векторов:,. Согласно формуле (.10)Длина стороны==. ►

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторовиесть третий вектор, модуль которого(т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторахи), а направление перпендикулярно к обоим векторами(т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте откна угол, меньший(рис 4.14). Из этого определения векторного произведения следует, что векторы ,иобразуютправую систему.

Если векторы иколлинеарны (), то=0.

Свойства векторного произведения:

; ;;

; .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ;;.

Если векторы изаданы своими декартовыми координатами:,, то их векторное произведение

. (4.11)

Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторов называется произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение. Если векторы,иобразуют правую тройку, то, если – левую, то.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах,и(рис. 4.15), взятому со знаком “+”, если векторы ,иобразуют правую тройку, и со знаком “–“, если ― левую:

. (4.12)

Если векторы ,изаданы своими декартовыми координатами:,,, то их смешанное произведение

(4.13)

Пример. Даны координаты вершин треугольника: ,,. Найти площадь.

◄ Направим из вершины треугольника векторы в вершиныи(рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь. Находим координаты векторов:,. По формуле (4.11) находим векторное произведение=.

Таким образом, (кв. ед.). ►

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ,,.

◄ Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда . ►