Тема 5 Элементы векторной алгебры

Лекция 1.5.1 «Элементы векторной алгебры»

Учебные вопросы:

1. Векторы. Координаты вектора

2. Линейные операции над векторами

3. Скалярное и векторное произведение векторов

1. Векторы. Координаты вектора

Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).

Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 4.1). Вектор обозначается как или(т.– начало, т.– конец вектора).Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается или.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 4.2 векторы ,и– коллинеарные;и– однонаправлены,и– противоположно направлены.

Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Нулевой вектор (нуль-вектор) – вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль).

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Два вектора и равны

=,

если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль (=).

Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через –(=). Из определения противоположного вектора следует –(–)=.

Ось – прямая, на которой выделено одно из двух ее направлений. Это выделенное направление называется положительным, а противоположное – отрицательным. Ось можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление (рис. 4.3).

Проекция точки на ось есть основание перпендикуляра(точка), опущенного из т.на эту ось (рис. 4.4).

Компонентой (составляющей) вектора на ось называется вектор, где– проекция начала, а– конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают ). Если осьзадана вектором, то векторназывается также компонентой (геометрической проекцией) векторана направление вектора.

Алгебраической проекцией (просто проекцией) вектора на ось (илина направление вектора ) называется длина вектора(см. рис. 4.5), взятая со знаком “+”, если вектор имеет то же направление, что и ось, или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначаетсяили. Для случая, представленного на рис. 4.5, проекция вектора на осьбудет иметь отрицательный знак.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси ,и, пересекающихся в начале координат, при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 4.6). Название осей: – осьабсцисс, – осьординат, – осьаппликат.

Декартовы координаты точки есть расстояния ее проекций(рис. 4.6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки: .

Единичные векторы (орты) ,,осей,исоответственно (рис. 4.7) образуют систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название базисных векторов.

Координаты вектора есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 4.7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора: .

Если точка является началом вектора, а точка ― его концом (рис. 4.8), то

, (4.1)

а его длина (модуль)

. (4.2)

Направление вектора можно задать углами ,,, образуемые положительными направлениями координатных осей,ис вектором(рис. 4.9). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:

,

, (4.3)

.

Для этих косинусов справедливо равенство:

. (4.4)

Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки в точку.

◄ По формуле (4.1) находим координаты вектора:. Согласно (4.2) длина вектора. По формулам (4.3) находим направляющие косинусы:,,. Проводим проверку на основе равенства (4.4):►