Тема 7 Элементы аналитической геометрии

Лекция 1.7.1. «Прямая линия на плоскости»

Учебные вопросы:

3. Уравнение линии на плоскости

4. Прямая линия на плоскости

5. Полярные координаты

1. Уравнение линии на плоскости

Геометрия представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между объектами, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены с точками. В аналитической геометрии точка определяется ее координатами в некоторой системе отсчета и, следовательно, геометрические отношения записываются в виде соотношений между координатами (уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств и др.). Далее, если не оговорено особо, применяется декартова прямоугольная система координат.

На плоскости каждая ее точка (рис. 5.1) представляется двумя координатами: абсциссойи ординатой(записывается).

Расстояние между точками плоскости и

; (5.1)

координаты середины отрезка (точки)(рис.5.2):

. (5.2)

Уравнение вида

или , (5.3)

связывающее координаты иточек плоскости, называетсяуравнением линии , если:

1. координаты каждой точки линииудовлетворяют этому уравнению (рис. 5.3);

2. координаты любой точки, не лежащей на линии , не удовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (5.3) в общем случае задает на плоскости некоторое точечное множество, которое может быть и не линией на плоскости.

Плоскую линию можно задать также двумя уравнениями

, (5.4)

где – переменный параметр (параметрическое задание линии).

Значения координат и, которые удовлетворяют системе уравнений двух кривых

определяют точку пересечения этих кривых. Число точек пересечения равно числу решений этой системы. Если система не имеет решений, то линии не пересекаются.

2. Прямая линия на плоскости

В зависимости от исходных данных и решаемой задачи уравнение прямой линии на плоскости может иметь различный вид.

Каноническое (симметричное) уравнение прямой. Прямую можно задать точкой , через которую она проходит, и направлением ее прохождения по направлению вектора, лежащего на прямой или параллельного ей (рис. 5.4). Этот вектор называетсянаправляющим вектором прямой. Вектор , проведенный из точкив любую произвольную точку прямой, лежит на прямой и параллелен (коллинеарен) направляющему вектору. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат, т. е.

. (5.5)

Уравнение (5.5) называется каноническим (симметричным) уравнением прямой.

Направление прямой может быть задано вектором , которому она перпендикулярна (рис. 5.4). Этот вектор называютнормальным вектором прямой. Условием перпендикулярности векторов иявляется равенство нулю их скалярного произведения

. (5.6)

Уравнение (1.3.6) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данному вектору.

Уравнение (5.6) можно записать в виде

. (5.7)

Это уравнение (общее уравнение прямой на плоскости ) линейно относительно декартовых координат ии определяет прииодновременно не равных нулю прямую линию на плоскости. Обратно, каждая прямая линия на плоскости может быть определена линейным уравнением (5.7). Припрямая проходит через начало координат. Припрямая проходит параллельно оси, при– параллельно оси. Для примера на рис. 5.5 приведены прямые, соответствующие уравнениям,, .

Коэффициенты в общем уравнении прямой (5.7) определяют координаты нормального и направляющего векторов этой прямой: ,. Следует отметить, что эти векторы определяются с точностью до постоянного множителя, т. е. векторыи, где– любое не равное нулю число, также могут быть взяты в качестве нормального и направляющего вектора соответственно.

Пример. Дана прямая (). Составить уравнения прямых, проходящих через точкуа) параллельно данной прямой

(), б) перпендикулярно данной прямой ().

◄ а) Направляющий вектор для данной прямойбудет направляющим вектором и для(). Каноническое уравнение прямойсогласно (5.5) будет. Отсюда получаем общее уравнение прямой:. Это же уравнение можно получить другим путем. Записав общее уравнение прямойв виде(коэффициентыидля параллельных прямых можно взять одинаковыми), после подстановки в него координат точкиполучить значение.

б) В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор прямой:. Каноническое уравнение прямой:. Отсюда:. ►

Общее уравнение прямой (5.7) можно переписать в виде или (положив,)

, (5.8)

Уравнение (5.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Оно определяет прямую, образующую угол с положительным направлением оси(рис. 5.6) и пересекающую осьв точке. Коэффициентназываетсяугловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой можно также записать в виде

. (5.9)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках и определяет прямую линию, пересекающую ось в точкеи осьв точке(рис. 5.6).

Уравнение прямой, проходящей через две данные (несовпадающие) точки и(рис. 5.7), следует из канонического уравнения (5.5), если в качестве направляющего вектора прямойвзять вектори выбрать точку(или):

или . (5.10)

Условием, при котором три точки плоскости ,илежат на одной прямой, является

.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и. Записать это уравнение в виде уравнения в отрезках и построить прямую.

◄ Используя (5.10), получаем уравнение искомой прямой: . Переписываем уравнение в форму уравнения в отрезках:. Из последнего уравнения имеем,. Прямая приведена на рис. 5.8. ►

Обозначив в каноническом уравнении (5.5) отношение через (– переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой:

(5.11)

Под углом между двумя пересекающимися прямыми ипонимается угол, на который нужно повернуть прямую вокруг точки пересечения прямых по часовой стрелке до первого пересечения с прямой(рис. 5.9). Этот угол (или смежный с ним) равен углу между направляющими векторамиипрямых (рис. 5.9), т.е. (с точностью до знака)

. (5.12)

Угол между прямыми можно найти также при помощи их нормальных векторов и:

. (5.13)

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом ,, то угол между ними можно определить по формуле

. (5.14)

Из этой формулы следует, что прямые параллельны при и перпендикулярны при().

Пример. Найти угол между прямыми :и:.

◄ Используем формулу (5.13). По уравнениям прямых находим их нормальные векторы: ,. Согласно (5.13) будем иметь. Отсюда,(смежные углы).

Используем также формулу (5.14). Преобразовав уравнения прямых в форму с угловым коэффициентом: :,:, получаем угловые коэффициенты,. Подставив значения коэффициентов в (5.14), получаем. Отсюдаили.

Получен целый набор значений угла . Значения, полученные по формуле (5.13), являются на самом деле значениями углов между нормальными векторами прямых и, учитывая неоднозначность выбора этих векторов, неоднозначно определяют угол между прямыми с точки зрения их взаимного расположения на плоскости. Поэтому формулами (5.12) и (5.13) пользуются тогда, когда взаимное расположение прямых не имеет значения. Однозначное значение угла между прямыми с учетом направления поворота прямойвокруг точки пересечения получают по формуле (5.14). Таким образом, угол между данными прямыми(уголсоответствует повороту прямойк прямойпротив часовой стрелки). ►