1.2. Разложение определителя по элементам строки или столбца

,	aij – общий элемент определителя, где i – номер строки, j – номер столбца.

Минором элемента a_ij определителя D называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиваниемстроки и столбца, содержащих взятый элемент.

Обозначение: M_ij.

Пример.

–минор элемента а₁₂.

–минор элемента а₃₃.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется минор этого элемента, умноженный на коэффициент (–1)^i+j.

Обозначение: А_ij = (–1)^i+j  M_ij.

Пример.

.

.

Теорема:

Если , то

, где i – номер строки,

или

, где j – номер столбца.

Пример. Вычислить определитель разложением по элементам:

1) второй строки; 2) третьего столбца.

Решение:

1) i =2, .

.

.

.

.

2) i = 3, .

.

.

.

.

Ответ: .

1.3. Решение систем линейных уравнений методом определителей (метод Крамера)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: x₁, x₂, x₃:

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_i считаются заданными).

Решение: составим определители :

, ,,,

где  называют определителем системы, а определители x_i получены из основного определителя  заменой свободными членами b_i элементов соответствующего столбца.

Особые случаи:

1) если   0, то система имеет единственное решение;

2) если  = 0, x_i  0, то система несовместна;

3) если  = x_i = 0, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо она решений не имеет.

Пример.

Решить систему линейных уравнений:

Решение: составим определители , _x, _y, _z и найдем их значения.

(  0, следовательно, система имеет единственное решение).

.

.

.

Найдем решение системы:

Ответ: (3; 2; –1).

II. Аналитическая геометрия

2.1. Координаты вектора в пространстве. Действия над векторами в координатной форме

Пусть M(x; у; z) – координаты точки в пространстве.

Выберем: – единичные векторы на соответствующих осях координат:

Всякий вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов:

,

где – координаты вектора в пространстве.

Длина вектора вычисляется по формуле.

Рассмотрим две точки пространства: и

Найдем координаты вектора :.

Таким образом, – координаты вектора

Длина вектора определяется по формуле.

Справедливо следующее утверждение:

пусть: итогда

.

Пример 1.

Найти расстояние между точками А и В, если известно, что А(–2;3;1) и В(2;1;5).

Решение:

1. Найдем координаты вектора :

2. Вычислим длину вектора :

Ответ: 6.

Пример 2.

Найти длину вектора если.

Решение:

1. Обозначим:

2. Найдем координаты вектора

3. Найдем координаты вектора

4. Вычислим длину вектора

Ответ: 3.

2.2. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

Скалярным произведением двух векторов иназывается произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Особые случаи:

Если векторы изаданы своими координатами:ито скалярное произведение вычисляется по формуле:

Угол между векторами выражается следующим образом:

В координатной форме:

Пример 3.

Найти угол между векторами и, еслии

Решение:

Обозначим: .

Ответ: