UMK_po_mikroekonomike / 50_лекций по микроэкономике / 50_Ответы на задачи и вопросы

Таким образом, индивиды как потребители предъявляют спро с на:

X1* + = 36.68 + 25;76 = 62.44,

Y1* + Y2* = 73.36 + 17.26 = 90.62.

Следовательно, разность между суммарным производством и суммарным спросом по благам:

e*X = X* – ( X1* + ) = 92.85 – 62.44 = 30.5,

eY* = Y* – ( Y1* + Y2* ) = 29.71 – 90.62 = –61.0.

В результате, продав на мировом рынке часть блага Х, потребители смогут полностью удовлетворить свою потребность в благе Y.

3. Условие эффективности в производстве:

MRTSLKX = MRTSLKY = MPLX / MPKX = MPLY / MPKY .

Ответы на задачи и вопросы 721

точке этой кривой имеет место эффективность в обмене, т. е. MRSXY1 = MRSXY2 .

MRSXY1 = MUX/MUY, MUX = ¶ UX/ ¶ X = Y1, MUY = ¶ UY/ ¶ Y = X1 Þ MRSXY1 = Y1/X1; MRSXY2 = MUX/MUY, MUX = ¶ UX/ ¶ X = Y2, MUY = ¶ UY/ ¶ Y = X1 Þ MRSXY2 = Y2/X2.

Далее можно записать следующую систему уравнений:

Y1/X1 = Y2/X2,

X1 + X2 = 210,

Y1 + Y2 = 210.

Отсюда получаем: Y1 = X1Y2/X2 Þ Y1 = X1(210 – Y1)/(210 – X1) Þ 210 Y1 – – X1Y1 = = 210 X1 – X1Y1 Þ X1 = Y1 — уравнение контрактной кривой (на рис. —

диагональ квадрата, представляющего коробку Эджуорта).

Аналогичный результат мы получили бы, если бы записали вы ражение не для Y1, à äëÿ Y2. Контрактная кривая также представляла бы диагональ квад рата (урав-

нение X2 = Y2).

д) Найдем координаты точек, в которых кривые безразличия и ндивидов 1 и 2, проходящие через точку изначального размещения благ, пер есекают контрактную кривую.

Составим следующую систему уравнений:

X1 = Y1,

Y1 = 3600/X1.

Получаем Y12 = 3600 Þ Y1 = 60, X1 = 60. Аналогично

X2 = Y2,

Y2 = 16200/ X2 Þ Y2 = 127.3, X2 = 127,3 Þ Y1 = 82.7, X1 = 82.7.

е) 1) Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бю джетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) + l(I1 – PXX1 – PYY1),

ãäå I1 – бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещен ии. Таким образом, I1 = 1 · 30 + 2 · 120 = 270.

¶ L/ ¶ X1 = ¶ U1/ ¶ X1 – l = 0 Þ Y1 = l ¶ L/ ¶ Y1= ¶ U1/ ¶ Y1 – 2l = 0 Þ X1 = 2l

¶ L/ ¶ l = 270 – X1 – 2Y1 = 0 Þ 4l = 270 Þ l = 67.5 Y1 = 67.5; X1 = 135.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U2(X2,Y2) + l(I2 – PXX2 – PYY2),

ãäå I2 – бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на количество соот-

722 Ответы на задачи и вопросы

ветствующих благ у индивида 2 при изначальном их размещен ии. Таким образом, I1 = 1·180 + 2·90 = 360.

¶ L/ ¶ X2 = ¶ U2/ ¶ X2 – l = 0 Þ Y2 = l, ¶ L/ ¶ Y2= ¶ U2/ ¶ Y2 – 2l = 0 Þ X2 = 2l,

Заказанная комбинация благ не будет эффективной, так как не лежит на контрактной кривой. Уравнение контрактной кривой X1 = Y1 (X2 = Y2) предполагает, что количество единиц блага X в распоряжении любого из индивидов должно быть равно находящегося в его же распоряжении количеству един иц благаY.

2) Проводим аналогичные расчеты при прежних величинах бюд жетов иPX = 2.

Тогда Y1 = 90, X1 = 90; Y2 = 120, X2 = 120 Þ X1 + X2 = 210, Y1 + Y2 = 210. Таким образом обеспечивается общее экономическое равно весие. Одновременно

заказанные комбинации благ находятся на контрактной кри вой.

3)Нет, не будет. При финальном размещении благ U1 возрастает по сравнению

ñизначальным на 4500 (8100 – 3600), а U2 убывает на 1800 (16200 – 14400). Индивид 1 имеет возможность компенсировать потерю полезн ости индивиду 2, оставаясь при этом в выигрыше. Таким образом, имеет место п отенциальное паре- то-улучшение (удовлетворяется критерий Калдора—Хикса).

2.Произведем подсчет полезностей каждого из индивидов в ка ждом из состо-

ÿíèé.

Cостояние 1 превосходит состояние 0 по критерию Парето. Сост ояние 2 превосходит состояние 0 по критерию Калдора, но не по критерию Пар ето (состояния 2 и 0 парето-несравнимые). Состояния 2 и 1 парето-несравнимые, н о состояние 2 превосходит состояние 1 по критерию Калдора.

Простая утилитаристская функция общественной полезност и для индивидовА и В есть W = UA + UB, а роулсианская функция для тех же индивидов W = min {U1, U2}. В таком случае по утилитаристскому критерию состояние 1 п редпочтительнее состояния 0, состояние 2 предпочтительнее состояния 0 и состояние 2 предпочтительнее состояния 1. По критерию Роулса только состояние 1 предпочт ительнее состояния 0, тогда как при переходе из состояния 0 в состояние 2 обществе нное благосостояние не возрастает, так же как и при переходе из состояния 1 в состо яние 2.

3.a) Максимаксная функция общественного благосостояния W = max {UA, UB} Þ

ÞUA = 200; UB = 0. Максимизируется благосостояние наиболее благополучного члена общества, каковым является индивид А. В этом случае максимально возможное значение индивидуального благосостояния совпадает с ма ксимумом общественного благосостояния. Максимизация благосостояния индивида В принесла бы только 100 ед. полезности.

в) Находим общественный оптимум по аналогии с максимизацией функции индивидуальной полезности при наличии бюджетных ограни чений:

Êлекции 44

1.Состояние 1 явно означает большее равенство по сравнеию с состоянием 2. Состояние 3 означает большее равенство по сравнению с сос тоянием 2, так как

êсостоянию 3 можно перейти из состояния 2 через трансферты от богатых к бедным.

Для сравнения состояний 1 и 3 воспользуемся индексом Аткин сона с заданными по условиям задачи значениями е1/2 и 2 и коэффициентом Джини (G).

724 Ответы на задачи и вопросы

IA = 1 – 2.66/4 = 1 – 0.67 = 0.33.

Коэффициент Джини удобно рассчитать по формуле

ãäå Y1 – доход самого богатого; Y2 – доход следующего по богатству индивида и т. д.

Коэффициент Джини дает однозначный результат — состояни е 3 означает меньшее неравенство. Что же касается индекса Аткинсона, то зде сь многое зависит от значения е, которое, как известно, показывает меру неприятия обществ ом неравенства доходов (чем больше значение е, тем больше это неприятие). Отсюда мы видим противоположные результаты при сравнении состоян ий 1 и 3 с помощью индекса Аткинсона. При е = 0.5 состояние 3 означает большее равенство по сравнению с состоянием 1, а при е = 2, наоборот.

Êлекции 45

1.а) Если каждая фирма действует независимо, то частные пре дельные издержки (МС1 è ÌÑ2) просто приравниваются к ценам.

Ð1 = ÌÑ1 Þ 2 = Q1/50 Þ Q1 = 100. Ð2 = ÌÑ2 Þ 3 = 2Q2/100 Þ Q2 = 150.

б) Объединенная фирма максимизирует свою прибыль как раз ность между общей выручкой и суммарными издержками.

в) Полные общие издержки пасеки (TSC1) должны учитывать ее влияние на снижение издержек выращивания яблок.

TSC1 = Q12 /100 – Q1.

Тогда предельные общественные издержки (MSC1) можно приравнять к цене и получить общественно эффективный выпуск:

MSC1 = 2Q1/100 – 1= 2 Þ Q1* = 150.

Чтобы вывести пасеку на общественно эффективный выпуск, м ожно предоставить ей субсидию на единицу продукции (s). Ее надо вычесть из частных предельных издержек:

ÌÑ1= Q1/50 Þ Q1/50 – s = 2 Þ s = 1.

2. a) Приравниваем предельные затраты каждого хозяйства к цене и находим выпуск и прибыль при раздельном хозяйствовании:

p10 = P1Q1 – TC1 = 15·50 – 0,1·502 – 5·50 + 0,1·202 = 290,

p02 = P2Q2 – TC2 = 15·20 – 0,2·202 – 7·20 – 0,025·502 = 17.5.

б) С тем чтобы определить оптимальный налог и субсидию на е диницу продукции, сначала нужно найти общественно оптимальную величин у выпуска для первого и второго хозяйств. Она находится путем приравнивания к ц ене предельныхобщественных затрат (MSC). Предельные общественные затраты первого хозяйства учи - тывают негативный внешний эффект, который его деятельнос ть оказывает на затраты второго, т. е. 0.025 Q12. Предельные общественные затраты второго хозяйства, напротив, исключают положительный внешний эффект, которы й его деятельность оказывает на затраты первого, т. е. 0.1 Q22. Тогда

MSC1 = P1, 0.2Q1 + 5 + 0.05Q1 = 15 Þ Q1* = 40,

MSC2 = P2 , 0.4Q2 + 7 – 0.2Q2 = 15 Þ Q2* = 40.

Теперь подсчитаем, какую величину нужно добавить к предел ьным затратам первого хозяйства (иначе говоря, каким налогом обложить к аждую единицу его продукции) и какую величину необходимо вычесть из предел ьных затрат второго (иначе говоря, какую субсидию предоставить на каждую един ицу его продукции) с тем, чтобы и первое, и второе хозяйствa вышли на оптимальный выпуск в 40 ед.

0.2Q1 + 5 + t = 15 Þ t = 15 – 5 – 0,2·40 = 2, 0.4Q2 + 7 – s = 15 Þ s = 0.4·40 – 15 + 7 = 8.

в) В целях определения величины неискажающего налога сна чала необходимо

726 Ответы на задачи и вопросы

рассчитать прибыль (убыток), которую(ый) получат хозяйств а, если будут выпускать общественно эффективный объем продукции (при отсутствии корректирующих налогов и субсидий), т. е. по 40 ед. каждое. Для этого из общей выручки от ее реализации надо вычесть затраты хозяйств.

p1* = P1 Q1* – (0.1Q*12 + 5 Q1* – 0.1Q*22) = 15·40 – (0.1·402 + 5·40 + 0.1·402) = = 600 – (160 + 200 – 160) = 400

p*2 = P2 Q2* – (0.2Q*22 + 7 Q2* + 0.025Q*12) = 15·40 – (0.2·402 + 7·40 + 0.025·402) = = 600 – (320 + 280 + 40) = –40

Таким образом, общественно эффективный выпуск невыгоден второму хозяйству.

При определении величины неискажающего налога необходи мо исходить из того, что он должен так перераспределить прибыль между хозяйствами, чтобы каждое из них имело, как минимум, прежнюю величину прибыли (получе нную при раздельном хозяйствовании). Легко заметить, что передача от ф ирмы 1 фирме 2 суммы большей (или равной) 57.5 [(17.5 – (–40))] и меньшей (или равной) 110 (400

– 290) приведет к парето-улучшению. Для хозяйств после введен ия потоварных налогов и субсидий неискажающие налоги (T1 è T2 ) рассчитываются как:

=30 + 262.5 = 292.5.

Óпервого хозяйства неискажающий налог отбирает часть пр ибыли при общественно эффективном выпуске за вычетом прежней прибыли и уплаченных потоварных налогов. У второго хозяйства этот налог отбира ет часть субсидии за вычетом прежней прибыли и потери прибыли от общественно э ффективного выпуска.

Так как прибыли хозяйств остаются неизменными, то уровень полезности, полу- чаемый хозяйствами, не меняется. Чистая общественная выго да (так называемый ²общественный дивиденд) определяется как чистые налогов ые поступления:

W = tQ*1 – s Q2* + T1 + T2 = 52.5.

Эта сумма может быть использована для улучшения положени я какого-либо из хозяйств или разделена между ними в какой-нибудь пропорци и. Обратите внимание, что она в точности равна рассчитанному выше интервал у, в котором перераспределение прибыли между хозяйствами ведет к парето-улучшению (110 – 57.5 = = 52.5).

г) После объединения двух ранее самостоятельных хозяйств в одно прибыль определяется как:

p = 15(Q1 + Q2) – 0.125 Q12 – 5Q1 – 0.1 Q22 – 7Q2 .

Максимизируем прибыль. Находим частные производные и при равниваем к нулю:

¶p /¶Q1 = 15 – 0.25Q1 – 5 = 0, ¶p /¶Q2 = 15 – 0.20Q2 – 7 = 0.

Ответы на задачи и вопросы 727

Отсюда Q1 = 40; Q2 = 40 (следовательно, совокупный выпуск равен 80) и совокупная прибыль — π = 360. Прирост прибыли по сравнению с прибылью при раздельном хозяйствовании составил Δπ = 360 – (290 + 17.5) = 52.5. Этот прирост равен чистой общественной выгоде («общественному дивиденду») от использования неискажающих налогов и трансфертов. Это говорит о том, что объединение хозяйств есть столь же эффективный способ превращения внешних эфф ектов во внутренние, что и использование корректирующих налогов и субсидий в с очетании с неискажающим налогообложением.

3. а) Приравниваем частные предельные издержки фирм 1 и 2 к ценам и находим соответствующие значения выпуска:

MC1 = 4Q1 + 20 – 2Q2 = 240,

MC2 = 6Q2 + 60 = 240.

Отсюда Q1 = 70, Q2 = 30.

б) Предельные общественные затраты фирмы 1 совпадают с ее частными предельными затратами (она является не создателем, а получат елем положительного внешнего эффекта от фирмы 2). В то же время предельные общес твенные затраты фирмы 2 должны учесть создаваемый ею положительный внешний эффект для фирмы 1.

Отсюда

MSC1 = 4Q1 + 20 – 2Q2 = 240,

MSC2 = –2Q1 + 6Q2 + 60 = 240.

Следовательно, Q1* = 84, Q2* = 58.

Обратите внимание на то обстоятельство, что наличие полож ительного внешнего эффекта сделало общественно желательным расширение вып уска обеими фирмами.

в) Достаточно предоставить потоварную субсидию производителю положительного внешнего эффекта:

6Q2 + 60 – s2 = 240.

Ïðè Q2* = 58 s2 = 168.

При общественно эффективном выпуске фирмы 2 фирма 1 увелич ивает выпуск до общественно эффективного уровня автоматически, без ка ких-либо субсидий, так как производимый фирмой 2 положительный внешний эффект сн ижает ее частные предельные издержки. В этом легко убедиться:

4Q1 + 20 – 2Q2 – s1 = 240.

Ïðè Q2* = 58 è Q1* = 84 s1 = 0.

г) Когда фирмы максимизируют свои прибыли без введения ко рректирующей субсидии, то их прибыли:

π1 = PQ1 – TC1 = 240·70 – 2·702 – 20·70 + 2·70·30 = 9800,

π2 = PQ2 – TC2 = 240·30 – 3·302 – 60·30 = 2700.

Прибыли фирм в случае выпуска общественно эффективных об ъемов продукции без субсидии:

π1* = P Q1* – TC1 = 240·84 – 2·842 – 20·84 + 2·84·58 = 14112,

728 Ответы на задачи и вопросы

T1 = p1* – p1 = 4132,

T2 = p*2 – p2 + s2 Q2* = 7392.

Чистый выигрыш общества («общественный дивиденд») составит

DW = T1 + T2 – s2 Q2* = 1960.

Êлекции 46

1.Найдем предельную норму замещения между общественным и частным благами:

MRSG,X = MUG/MUX = 1/40G1/2 .

MRTG,X = 1 (по условию задачи).

В поселке проживает 1000 человек. Следовательно, 1000/40G1/2 = 1. Отсюда получаем, что G = 225.

2. MRTG,X = 1 (так как частные и общественные блага измеряются в денежных единицах).

MRSGS,X = MUGS / MUXS = 1/2 ,

MRSGB,X = MUGB / MUXB = XB / GB.

MRSGS,X + MRSGB,X = MRTG,X Þ 1/2 + XB / GB = 1 Þ XB / GB = 1 /2.

Отсюда можно заключить, что из располагаемой суммы каждый готов отдать половину на общественные блага (4000 ден. еди.), оставшиеся 4000 де нежных единиц будут поровну потрачены ими на частные блага (т. е. и Сергей, и Борис выделят по 2000 ден. ед. каждый на покупку частных благ).

3. a) В случае частного блага кривые спроса складываются по горизонтали. Получаем функцию суммарного спроса:

Qå = 60 – 3Ð,

P = 20 – 1/3 Qå .

При совершенной конкуренции 20 – 1/3Q = 4 Þ Qå = 48.

б) В случае общественного блага кривые спроса складывают ся по вертикали.

4. а) Оптимальное использование блага предполагает максимизацию разницы между общими выгодами В(х) и общими издержками С(х).