математика_шпоры

1.Мера плоской области.

Пусть U –плоское мн-во, будем наз его ограниченным, если сущ круг , который охватывает это мн-во. Наименьший диаметр такого круга- диаметр мн-ва α(U).площадь- мера (m). Мн-во U наз измеренным, если выполн равенство m_(U)=m+(U).

m(U)=m_(U)=m+(U)-мера. Плоское мн-во огранич векторами – область. Т. Ограниченная плоская обл измерима, т.е. для нее определено понятие площади. Плоскую кривую можно считать замкнутой обл если ее площадь=0.

2. Определение и св-во двойного инт-ла.

Пусть Д- огранич плоская обл. Р принадлеж Д- переменная точка этой обл.f(p)-числовая фун-ия, опред в обл Д. ∫∫_дf(p)dδ. ∫∫_дf(p)dδ= lim h->∞S(f,B(черточка вверху).- опред инт-ла без ввода сист корд-ых плоскостей. Предположим, что сист корд введена:Р:Р(х,у),f(p)=f(x,y), dδ = dxdy, получ ∫∫_дf(x,y)dxdy.

Св-ва :1. ∫∫_д1 dδ = δ(Д)2. ∫∫_дαf(p)dδ= α∫∫_дf(p)dδ 3. ∫∫_д(f(p)+g(p)) dδ = ∫∫_дf(p)dδ+ ∫∫_дg(p)dδ 4. Если f(p)=<g(p) то ∫∫_дf(p)dδ=< ∫∫_дg(p)dδ

5. область Д замкнута(содержит свою границу )и f(p) непрерывна( достигает миним. обозн m и максим. обзн M)

mδ(Д)=< ∫∫_дf(p)dδ=<M δ(Д) 6.если обл Д замкнута и непредставима в виде объединения замкнутых обл, то р* принадлеж Д, ∫∫_дf(p)dδ=f(p*) dδ(интегральная теорема о среднем) 7. Д=Д1UД2,Д1иД2 пересек только по граничным точкам. ∫∫_дf(p)dδ= ∫∫_д1f(p)dδ+∫∫_д2f(p)dδ

3.правильность обл вдоль оси. Определение повторного интеграла.

Огран обл Д наз првильной вдоль оси l если прямая, проходящая через внутр точки обл Д, паралл оси l, пересек границу обл Д ровно 2 раза(имеет 1 точку входа и 1 выхода).прямую проход через внутр точки обл назовем сквозной. Если обл неправильная то ее можно разрезать на несколько правильных частей. 1 Д правильна вдоль оси Оу. Множество точек входа образует нижнюю границу обл Д , а мн-во точек выхода – верхнюю границу. 2. Д правильна вдоль оси Ох, мн-во точек входа- левая граница обл, мн-во точек выход –правая граница.

Рассмотрим обл Д, прав вдоль Оу, пусть у=α1(х)и у= α2(х)-верхняя и нижняя граница при хЄ[a,b],пусть f(x,y)-опр на Д.∫от a до b (∫от α1(х)до α2(х) f(x,y)dy)dx –повторный инт-л. Внутренний вычисляется в первую очередь. I_y (f,Д)= ∫от a до b (∫от α1(х)до α2(х) f(x,y)dy)dx. I_х (f,Д)= ∫от a до b (∫от α1(х)до α2(х) f(x,y)dх)dу.

4.свойства повторного инт-ла.

1.I_y(1,Д)=δ(Д) 2.I_y(αf,Д)=αI_y(f,Д) 3.I_y(f+g,Д)=I_y(f,Д)+I_y(g,Д) 4.если f(x,y)=<g(x,y)то I_y(f,Д)=<I_y(g,Д) 5.если обл Д замкнута, а f(x,y)непрерывна, m =min f(x,y),а M=max f(x,y), т o m*δД=<I_y(f,Д)=<Mδ(Д).6.если обл Д замкнута, а f непрерывна, при чем Д не состоит из разл замен частей , то сущ точка С(α,β), что Iy(f,Д)=f(α,β)δД.7.обл Д прав по Оу , сквозная прямая разбивает (паралл Оу)обл Д на альфа обл-ти (правильные), а сквозная прямая паралл Ох на большее число правильных обл.8.пусть Д является прямоугольником огранич прямыми х=а,х=в,у=с,у=d,f(x,y)=<f1(x)f2(y).

Iy(f,Д)=∫от а до в f1(x)dx*∫от c до d f2(y)dy, Ix(f,d)=∫от а до в f1(x)dx*∫от c до d f2(y)dy, Ix= Iy=∫от а до в*∫от c до d.

5. Равенство двойного и повторного интеграла.

Пусть Д – правильная вдоль ОУ плоская область. Пусть f(x;y) определенная на ней непрерывная ф-ция. Правильность области позволяет записать I_y(f;Д) и справ-во рав-во: =I_y(f;Д) (1). =I_х(f;Д) – если обл прав вдоль ОХ. Д-во – разбиение обл Д сеткой горизонт и вертикальн прямых.

6. Замена переменных в двойном интеграле. Линейная замена.

Рассм на корд плоскости Оху обл Дху и опредеенную на ней ф-цию f(x;у). Пусть в пространстве Ouv дана обл Дuv. Пусть определено взаимообратное выражение ɸ : Дuv → Дху, (1). Тогда справ-во рав-во: I(u;v)| dudv (2). Где I(u;v) – определитель матрицы. Линейная замена. . Найдем Якобиан этого выражения. =a , =b, =c, =d. I==ad-bc. Ф-ла (2) примет вид: ==

7. Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

Рассм коорд плоскость Оху. Точку М(х;у) можно охарактеризовать 2-мя параметрами ρ=ОМ, φ=угол между ОМ и Ох. Пара(ρ;φ) – полярные координаты т.М. Очевидно, что ρ>=0, φ можно считать изменяющимся в пределе любого промежутка от 0 до 2П. (1). Найдем Якобиан отображения (1). I==ρ cos² φ + ρ sin² φ= ρ>=0. I>=0, |I |=I= ρ. Т.О. : = .

8. Геометрические приложения 2-го интеграла: площадь плоской фигуры, объем цилиндроида, площадь поверхности.

1)Площадь плоской фигуры. Нам известна ф-ла Ϭ(Д)= (1). Она была получена как одно из св-в 2-го интеграла. Если область явл-ся правильной вдоль Оу, то получим ф-лу: Ϭ(Д)= 2) Объем цилиндроида. V(Ω)=3)Площадь поверхности.

9. Определение числового ряда, его сходимости и расходимости. Необходимое условие сходимости.

Бесконечная сумма а₁+а₂+…+а_n+…(1) назыв-ся числовым рядом. Частичная сумма - S_n= а₁+а₂+…+а_n. Если последовательность (S_n) явл-ся схдящейся, т.е. имеет предел (2), то ряд (1) явл-ся сходящимся. Число S – его сумма. Если предел (2) не сущ-т, то ряд расходится и суммы не имеет. Если lim S_n =∞, то ряд имеет бесконечную сумму. Если ряд сходится, то сумма . Необходимое условие сходимости. Условие – необходимое условие сход-ти, где - общ член. Условие (не стрем-ся) – обеспеч-т расход-ть ряда и назыв-ся достат услов расход-ти.

10. Признак сравнения (элементарная и предельная форма).

Элементарн пр-к сравн-я: Пусть а₁+а₂+…+а_n+… - ряд с положит членами, b₁+b₂+…+b_n+… a_n ≤ b_n. Тогда сход-ть 2-го ряда влечет сход-ть 1-го. Расход-ть 1-го след-т расход-ть 2-го. Предельн пр-к сравн-я: а₁+а₂+…+а_n+…, b₁+b₂+…+b_n+…. а_n, b_n ≥0. (A≥0).

1)A≠0, ∞. Ряды вместе сход-ся и расх-ся. Если А=0, то 1-й расх-ся => 2-й расх-ся. А=∞, то 1 сх => 2-й сх (2 расх => 1 расх). А= +∞ 2 расх => 1 расх. b_n=q^n-1, если q<1 – сход-ся, q≥1 – расх. b_n =1/n^p. р>1 сход, р≤1 расх.

11. Признак Даламбера и радикальный пр-к Коши.

Пр-к Даламбера: пусть а₁+а₂+…+а_n+… ряд с положит членами. (≥0), тогда 1) А< 1 ряд сход-ся, 2) А>1 ряд расх-ся, 3) А=1 – треб-ся доп исследов-я. Рад пр-к Коши. Рассм ряд с положит членами. Рассм предел =A. A<1 – р сход-ся, А>1 – р.расх, А=1 – доп исследов-я.

12. Интегральный пр-к Коши.

Рассм ряд с положит членами а₁+а₂+…+а_n+…, удовл услов-м: 1) a_n+1≤ a_n, 2)a_n→0, т.е. убыв-т и стрем-ся к 0. Тогда можно построить непрер ф-цию f(x), для кот f(n) =a_n, опред на промеж-ке Д(f(x))=[1;+∞] и f(x) удовл 2-м услов-м: 1) f(x): x₁< x₂ => f(x₁) ≥ f(x₂) 2) f(x)→0, х→ +∞. При этом сходимость ряда равносильна сход-ти интеграла. . Ряд и интеграл либо сх, либо расх вместе.

13. Знакоперемееный ряд. Абсолютная и условная сходимость.

Знакопеременный ряд – ряд а₁+а₂+…+а_n+…(1), члены которого приним-т значения обоих знаков. Причем это происх-т при сколь угодно больших знач-х n. Ряд (1) позвол-т построить 2-1 ряд b_n= | а_n |: b₁+b₂+…+b_n+….(2). Ряд (2) – ряд с положит членами. Сходимость ряда (1) при сход-ти ряда (2) назыв-ся абсолютной сход-тью. Сход-ть ряда (1) при расход-ти ряда (2) назыв-ся условной сход-тью.

14. Ряд Лейбница. Вычисление суммы ряда Лейбница с заданной точностью.

Ряд Лейбница удовлетворяет след условиям: 1) знакочередующийся; 2) a_n стремится к 0; 3) |a_n| убывает и стремится к 0 – такой ряд сходится; 4) |S_n|<|a₁|; 5) |R_n|<|a_n+1|; 6)|R_n|<ε; 7)| a_n+1|< Ɛ; 8) |a_n+1| <=|a_n|. Если вместо |S| взять |R_n|, а вместо |a₁| взять |a_n+1| , получим | R_n| < |a_n+1|. Полученное следствие дает возможность проводить вычисление суммы ряда Лейбница с любой указанной заранее точностью Ɛ. Пусть S=a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…

S=S_n+R_n - для любого сходящегося ряда. S приблизительно = S_n при этом |R_n|<Ɛ. S= S_n+R_n (S_n стрем-ся к S, R_n стрем-ся к 0). Практически мы можем для достижения точности требовать выполнение | a_n+1|< Ɛ.

15. Степенной ряд. Т. Абеля. Радиус и интервал сходимости. Стр-ра области сходимости.

Степенной ряд – функцион-й ряд (бескон сумма, слагаемые кот явл-ся ф-циями) с общим членом u_n(х)=c_nxⁿ, где c_n - конст-та. Нумерация членов ряда начин-ся с n=0. T.O. мы получаем ряд вида: c₀+ с₁х+с₂х²+ …+ с_nxⁿ + …(1)

Т. Абеля. Если ряд (1) сходится при х=х₀, х₀≠0, то он абсолютно сходится при любых значениях х, удовлетворяет нерав-ву |х|˂|х₀|, хϵ(-|х₀|;|х₀|).

Пусть сущ-т , тогда этот предел дает значение радиусв сходимости: R=(2). Если предположить, что существует lim, тогда для радиуса сходимости справ-ва формула .При исследовании ряда на сход-ть на концах интервала полезно использовать след законом-ть, пусть u_n(х)=c_nxⁿ, тогда: 1) u_n(-R) не стрем-ся к 0 равносильно u_n(R) не стрем-ся к 0. Невыполнение условия сходимости на одном из концов интервала сход-ти влечет то же самое на др конце. 2) Если на одном из концов ряда имеется абсол сход-ть, то и на др конце абсол сход-ть имеется.

16. Определение и сходимость ряда Маклорена.

Если х₀=0, то ряд Тейлора назыв-ся рядом Маклорена, и ф-ла Маклорена примет вид: f(h)=f(x₀)+(1/1!)f'(0)h+…+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(0)hⁿ. Вместо буквы h можно вставить х. Для получения общего вида ф-лы Маклорена можно исследовать остаточн член . C лежит м-ду 0 и х. Тогда общ вид ф-лы Маклорена: f(x) = f(0)+(1/1!)f’(0)x+…+(1/n!)f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ+Q_n (x). Если Q_n (x) → 0 при любом х, то ряд сходится при любом х, его интервал сходимости (-∞; +∞).

17. Ряды Маклорена функций е^х, sin x, cos x.

Возьмем ф-цию f(x)= е^х. Она имеет бесконечное число производных f’(x)= е^х, f’’(x)= е^х, …., fⁿ(x)= е^х. f(0)= 1, f’(0)=1, f’’(0)=1, …, f⁽ⁿ⁾ (0)=1. f(x)=1+(1/1!)x+(1/2!)x²+..+(1/n!)xⁿ+Q_n(x). . Зафиксируем значение х, тогда с=конст-та. Пусть n→∞. (факториал сильнее показательной). Это имеет место при любом х (получили разложение е^х в ряд Маклорена). Исследовать ряд, стоящий в правой части, на сход-ть нет необходимости. Q_n (x) → 0 при любом х, то ряд сходится при любом х, его интервал сходимости (-∞; +∞). f(x)=cosx, f’(x)= -sinx, f’’(x)= -cosx, f’’’(x)=sin(x), f^IV(x) ⁼ cosx. f(0)=1, f’(0)=1, f’’(0)=0, f’’’(0)= -1, f^IV (0)=1. Запишем ф-лу Маклорена: cosx=1-(1/2!)x²+(1/4!)x⁴-(1/6!)x⁶+..+((-1)^m/2m!)x^2m+Q_2m+1(x). . f^(2m+2)(x)=(-1)^m+1cos x. . Пусть n →∞, n =2m+1 => m→∞. cos x=1-(1/2!)x²+(1/4!)x⁴+…++… Ф-ла справ-ва при любом х => интервалом сход-ти явл-ся вся числов прямая.

f(x)=sin x, f’(x)=cos x, f’’(x)= - sinx, f’’’(x)= - cosx, f⁴(x)= sinx. f(0)=0, f’(0)=1, f’’(0)=0, f’’’(0)= -1, f⁴(0)=0. Sinx=(1/1!)x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵+…+ + Q_2m+2 (x). Q_2m+2(x)= coscx^2m+3. m→∞. Sinx=(1/1!)x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵+…+.

18.Частота события, её св-ва.Алгебра событий, элементарное событие

Частота событий и ее свойства

Относительной частотой события А () называется отношение числа m опытов в которых событие А наступило к общему числу n — фактически проведенных опытов.

Условной частотой события В по отношению в событию А () называется отношение числа k опытов, в которых наступило событие А и В к опытам m в которых наступило событие А.

Алгебра событий.

 Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Определение 1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Определение 1.5. Говорят, что события А₁, А₂,…,А_п образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями.

Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

19.Определение вер-ого пр-ва. Аксиома вер-сти.

   Пусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз. Следовательно,

   Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B)    Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом.    Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию .  Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B)

Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то

Событием, противоположным событию A, называется событие Ā, состоящее в ненаступлении события A . Очевидно, события A и Ā несовместны.

Теорема 1. Для любого события A вероятность противоположного события Ā выражается равенством P(Ā)=1-P(A)

Теорема 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

20.Сов-сть и несов-сть событий. Формулы сложения ве-стей.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Если события А и В являются несовместными(А*В=Ø) то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

21.Формула уможения вер-стей.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

.P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

22.Формула полной вер-сти. Формула Байеса.

. Полученная формула называется формулой полной вероятности.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

.P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B),

откуда:

Или

Полученная формула носит название формулы Байеса.

23.Схема Бернули и формула Бернули.

Рассмотрим послед-сть сост из конечного числа единообразных независимых испытаний(опытов)в каждом из которых с одой и той же вероятностью может появляться интересующее нас событие А. А-успех. N-число опытов.Р(А)=Р – вероятность одного успеха .Вся послед-сть опытов – эксперимет. Эксперимент описывается 2мя параметрами n и Р. Описанный эксперимент порождает вероятностное пр-во которое наз схемой Бернули. Р(μ_n=k)=C_n^kp^kq^n-k-формула Бернули, где n- число независимых опытов, Р- вероятность успеха в одном опыте. μ_n=это кол-во успехов, которые произошли в результате экеримента.к- некоторое целое число.

24.Предельная теорема Пуассона в схеме Бернули.

Пусть n стремится к бесконечности, Р меняется в месте с n, что nP стемится(P->0).

Lim_n->∞C_n^kp^kq^n-k = при больших n и малых Р получаем приближенную формулу Р(μ_n=k)≈

25. Предельные теоремы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.

Применяем когда Р не является малым 1).локальная Lim_n->∞C_n^kp^kq^n-k =*1/ ,x_n=(k-nP)/, Р(μ_n=k)≈ *1/, fi(x_k)= 1/, Р(μ_n=k)≈ )≈ *fi(x_k)

2.интегральная ,(x)dx,

26. СВ, закон распределения, ф-ция распределения и её св-ва.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. 1) Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.P(ξ=x1)+…+P(ξ=xn)=1 2) Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга. P(ξ=x)=0

Закон распределения случ вел-ны –это перечень всех возможных пром-ов В и вероятностей. Фун-ия распределения СВ ξ наз функция F_ξ(x) опред равенство F(x)=P(ξ<x), F(x)=P(ξЄ(-∞,x))

Св-ва:F(-∞)=0///F(+∞)=1///F(x) возраст///F(x)непрерывна слева.P(ξЄ[x1,x2])=F(x2)-F(x1)

27.дискретная СВ, ряд распределения, свойства функции распределения

ДСВ определяется тем условием, что существуют числа х1...хn (до бесконечности), для которых f(ξ=x_i)>0 и p(ξ=x_i)+...+p(ξ=x_n)=1. множество, состоящее из изолированных точек - дискретное. СВ называется дискретной, если множество ее значений дискретное. Закон распределения ДСВ удобно описывать таблицей, в которой оказываются возможные значения СВ и вероятности этих возможных значений. (p(ξ=x_i)=p_i). Ряд распределения СВ:

Свойства функции распределения (F_ξ(x)=p(ξ<x)): 1).F(-∞)=0. 2).F(+∞)=1. 3).F(x) возрастает. 4).F(x) непрерывна слева.

28.непрерывная СВ, плотность вероятности. Свойства функции распределения и плотности

НСВ - СВ, для которой при любом х выполняется равенство p(ξ=x)=0. Имеет смысл говорить о попадании СВ в промежуток. СВ называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. СВ называется абсолютно непрерывной, если ее функция распределения представлена в виде, f(t) - плотность вероятности.

Свойства плотности вероятности: 1).f(t)>=0. 2).. . свойства функции распределения: 1).F(-∞)=0. 2).F(+∞)=1. 3).F(x) возрастает. 4).F(x) непрерывна.

29.функция случайной величины вида , формулы для и

Предполагается, что f и F известны. Если α>0., , .

Если α<0. , ,

общая формула:

30.функция случайной величины вида , формулы для и

F_η(y)=p(η<y)=p(ξ²<y).

y<=0, (ξ²<y) невозможно, F_η(y)=0.

y>0, ξ²<y <=> ,

p(ξ²<y)=p()=F_ξ(√y)-F_ξ(-√y)=F_η(y).

f_η(y)=F_η'(y)

y<0, f_η(y)=0

y>0,

31.математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ: определение, вычисление и свойства

Математическое ожидание - среднее значение СВ; числовая характеристика, вычисляемая по формуле . Если множество значений бесконечно, то в правой части стоит бесконечная сумма, т.е. ряд расходится, СВ математического ожидания не имеет.

Свойства М: 1.ξ=С=const, М(ξ)=С 2.η=αξ, М(η)=αМ(ξ) 3.z=ξ+η, M(z)=M(ξ)+M(η) 4.z=ξη, Для независимых СВ: M(z)=M(ξ)M(η)=M(ξη)Дисперсия характеризует разброс значений СВ относительно его среднего значения. D(ξ)=M((ξ-M(ξ))²)

Свойства дисперсии: 1.ξ=С=const, D(ξ)=0 2.D(αξ)=α²D(ξ) 3.D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ) - более удобная вычислительная формула. 4.D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)+2(M(ξη)-M(ξ)M(η)), Если СВ ξ и η независимы, то D(ξ+η)= D(ξ)+D(η)

32.математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ: определение, вычисление и свойства

Математическое ожидание: , где f_ξ(x) - плотность вероятности ξ. Если интеграл расходится, то СВ математического ожидания не имеет.Дисперсия: D(ξ)=M((ξ-M(ξ))²), D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ), для второй формулы: .Свойства М:

1.ξ=С=const, М(ξ)=С 2.η=αξ, М(η)=αМ(ξ) 3.z=ξ+η, M(z)=M(ξ)+M(η) 4.z=ξη Для независимых СВ: M(z)=M(ξ)M(η)=M(ξη)

Свойства дисперсии: 1.ξ=С=const D(ξ)=0 2.D(αξ)=α²D(ξ) 3.D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ) - более удобная вычислительная формула. 4.D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)+2(M(ξη)-M(ξ)M(η)) Если СВ ξ и η независимы, то D(ξ+η)= D(ξ)+D(η)