математика_шпоры

33.Биномиальный закон распределения: определение, числовые характеристики

Рассмотрим схему Бернулли, определенную n,p,q=1-p, ξ=μ_n (число произошедших успехов в n опытах). ξ принимает значение 0,1,2...np(ξ=k)=С^k_np^kq^n-k, M(ξ)=np D(ξ)=npq

34.Пуассоновский закон распределения: определение, числовые характеристики

e^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁱ/i!+...

1=e^-x+e^-xx/1!+...+e^-xxⁱ/i!+...

λ>0

e^-λλ⁰/0!+e^-λλ¹/1!+e^-λλ²/2!+...+e^-λλⁱ/i!+...=1

e^-λλⁱ/i!>0

ξ:0,1,2...

p(ξ=i)= e^-λλⁱ/i!

Это закон распределения Пуассона.

M(ξ)=λ

D(ξ)=λ

35.связь биномиального и пуассоновского законов распределения

Биномиальный закон порожден схемой Бернулли. В рамках этой схемы была сформулирована предельная теорема Пуассона, которая говорит, что при больших n, малых p имеет место приближенная формула . (λ=np). Эта формула выражает близость законов распределения.

М(ξ_б)=np, M(ξ_п)=λ

М(ξ_б)=M(ξ_п)

D(ξ_б)=npq≈np=λ (q≈1)

D(ξ_п)=np=λ

D(ξ_б) ≈D(ξ_п)

Формулы M(ξ)=np, D(ξ)=npq, M(ξ)=λ, D(ξ)=λ выражают близость законов распределения на языке математического ожидания и дисперсии.

36.равномерный закон распределения: определение, числовые характеристики

Говорят, что непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке ab, если ее плотность вероятности f(x)= (1).

M(X)= =

f(x)= (3). (3) – каноническая формула равномерного распределения.

D(X)=σ²

F(x)=(x)dx==

37.определение функции Лапласа и ее свойства

Функция Лапласа:

Свойства:

1.Ф(-х)=-Ф(х)

2.Ф(+∞)=1/2 (при больших х: Ф(х)≈1/2

38.нормальный закон распределения: определение, числовые характеристики. Вероятность попадания в интервал

ξ=αξ₀+β (α>0)

β→а, α→σ (σ>0)

Закон распределения, определяемый плотностью вероятности f_ξ - нормальный закон распределения с параметрами a,σ.

M(ξ)=a

D(ξ)=σ²

39.двумерная случайная величина, закон распределения, функция распределения и ее свойства

Ξ=(x₁;x₂) - двумерная СВ.

Компоненты двумерной СВ - ξ, η (ξ=х, η=y).

Пусть Ξ=(ξ;η) - двумерная СВ, ее функция распределения - функция двух переменных:

(ξ<x, η<y) можно рассматривать как попадание в бесконечный прямоугольник Д.

Свойства функции распределения повторяют свойства одномерной функции распределения: 1).F(-∞;y)=F(x;-∞)=0. 2).F(+∞;+∞)=1. 3).F(x) возрастает по каждой переменной 4).F(x) непрерывна слева по каждой переменной

p(a≤ξ<b, c≤η<d)=F_Ξ(b;d)+F_Ξ(a;c)-F_Ξ(a;d)-F_Ξ(b;c)

40.дискретная двумерная СВ. форма записи закона распределения, законы распределения компонент

Для описания закона распределения можно использовать ряд распределения:

p_i=p(ξ=x_i;η=y_i)

удобнее отдельно рассматривать значение компонентов: ξ:x₁,...,x_m; η=y₁,...,y_n p_ij=p(ξ=x_i; η=y_j)

,

41. Условные з-ны распред. компонент дискретной двуменойСВ

Зафиксируем знач-я к.-нибудь компонентов η=у_i и рассм. 2-ую компоненту ξ при этом усл. В этом сл. ξ: х_1,х₂,…,х_m. Введём обознач-е, т.к. P(AB)= P(B)*P(A|B); , зн. Получим Условный з-н распред. СВ ξ при усл. η=у_i

Аналогично определяется усл. з-н распред. η при усл. ξ=x_i

Если ξ и ηнезависимы, то условный з-н должен совпадать с безусловным.

Наша ф-ла дает этот результат: .

42. Непрерывная двумерная СВ, плотность вероятности и ее св-ва, вычисление вероятностей.

Мы ввели понятие ф-ции распределения двумерной СВF(x;y) = P(ξ<x; η<y) и определили непрер. СВ условием: . Ф-цияf(x;y) – плотность вероятности, после последовательного дифференцирования получаем: . Св-ва ф-циираспред. 1.F(-∞; y)=F(x; ∞)=0, 2. F(+∞;+∞)=1. 3.Ф-ция возрастает по переменным х и у. 4.Ф-ция F(x;y) непрерывна. В общем случае была получена формула: P(a≤ξ <b, c≤η<d) = F(b;d)+F(a;c)-F(a;d)-F(b;c) (1). Для непрер. СВ вероятность попадания в любую линию =0, зн. в рав-ве (1) можно добавлять или убирать нерав-ва в лев. части. Тогда (1) примет вид: P((ξ;η)ϵD)= F(b;d)+F(a;c)-F(a;d)-F(b;c) (2), где D- прямоугольник с вершинами: (a;c); (a;d); (b;c); (b;d). Определяющие св-ва плотности вероятности1. f(x;y)≥0. 2.. Для плотности ф-ла (2) после применения ф-лы Ньютона-Лейбница выглядит след.обр.. Ф-ла (3) позволяет показать, что для любой произвольной обл. G имеет место ф-ла. Нужно разбивать круглую обл.G на мн-во прямоугольных. Для каждого прямоуг. верна в пределе ф-ла (4).

43.Законы распред. компонент непрер. двумерной СВ.

F(x;y), f(x;y)- ф-цияраспред. и плотность вероятности для двумерной СВ (ξ;η). Зад. состоит в нах. , где - полоса значений меньше х. Применив ф-луполучаем: . Найдем плотность: . .

..

Условные з-ныраспред.P(AB)= P(B)*P(A|B); P(A|B)= P(AB)/ P(B). Рассм. в кач-ве А событие (ξ<x), а в кач-ве В – событие (y<η<y+k) и получим (1). Рассм. вероятности в правой части рав-ва (1). а)для числителя применим рав-во и рассм. вероятность попадания в обл. . б)для знаменателя –аналогичную одномерную ф-лу и получаем . Рассм. предел этого выражения при В правой части числ. изнам. и мы получаем неопределенность . Применим правило Лопиталя. Рассм. производную числ. изнам. по переменной k при. Получаем подстановку v=y: . Обозначим ч/з - ф-ция распред.СВ ξ при усл. что η=у. Получили - Условный з-н распред. при усл. η=у. Плотность усл. з-на распред. .. ,.

44.Опред. независимости двух СВ, равносильные утверждения.

СВ ξ и η наз. независимыми для любых промежутков А и В, если (ξϵА) и (ηϵВ) – независимы. Т.е. Возьмем в кач-ве А и В промежутки А=(-∞; х) и В =(-∞; у).

). ). Применение ф-лы (1) даст (2). Перейдем к плотностям. , зн. Из (1) => (2)=> (3).

Если из (3) =>(1), то (1), (2), (3) равносильны и выражают независимость СВ.

Мы вывели рав-ва (1) и рав-ва (3). Равносильные рав-ва (2) и (3) могут рассматриваться в кач-ве определений независимости СВ.

45. Корреляционный момент и коэфф. корелляции двух СВ, их св-ва. Вычисление в дискретном и непрерывном случае.

Дискретный случайКорреляционный момент ( к. м.)СВξ и η- математические ожидания (ξ-М(ξ))*(η-М(η)). Обозначим к.м.ч/з К(ξ;η): К(ξ;η)=М((ξ-М(ξ))*(η-М(η)) (1). – Коэфф. корреляции (r (ξ;η)). (2)Св-вак.м. Преобразовывая правую часть (1), раскрываем скобки и применяем св-ва М. К(ξ;η)= М(ξη-ξМ(η)-М(ξ)η+М(ξ)М(η))=М(ξη)-М(ξМ(η))-М(М(ξ)η)+М(М(ξ)М(η))= М(ξη)-М(η)М(ξ)- М(ξ)М(η)+ М(ξ) М(ξ)=М(ξη)- М(ξ)М(η)

К(ξ;η)= М(ξη)- М(ξ)М(η) (3). Для НСВ известно св-во М(ξη)= М(ξ)М(η) . Если ξ и η – независимы, тоК(ξ;η)=0. Обратное неверно. Существуют примеры зависимых СВ К(ξ;η)=0.

Непрерывный сл. Справедливы ф-лы (1), (2), (3). Мат. ожидание вычисляется по ф-ле.

Если ξ и η-независимы, то . Проводя разделение инт. (4) получим ф-луМ(ξη)= М(ξ)М(η). В силу (3)для независимых СВ К(ξ;η)=0. По (2) r(ξ;η)=0. Обратное неверно. (возможно К(ξ;η)=0 для зависимых СВ).

Св-вакоэфф корреляции (для дискретного и непрер. случая): 1. |r (ξ;η)|≤1, (-1≤r (ξ;η) ≤1). 2. Если СВ независимы, то r (ξ;η)=0 (очевидно, т.к. К(ξ;η)=0). 3. если |r (ξ;η)|=1, то η=α ξ+β. При r= -1, α <0. При r= +1, α >0.

46. Двумерный нормальный з-н распред., смысл параметров, определяющих з-н.

Рассм. 2 СВ, распределенные нормально. Пустьξ: N(a₁;σ₁), η(a₂;σ₂); . В силу несовместности СВ их плотность выражается Упростив получим Двумерный з-н распред. определяемый ф-лой (1) наз. нормальным двумерным з-ном распред. с независимой компонентой.

Двумерный норм.з-н распред. общ. вида.Опред. Двумерным норм.з-ном распред. наз. з-н с плотностью

(2)

Ф-ция зависит от 5 констант: а₁, а_2, σ_1,σ_2,r. (σ_1,σ₂>0, r²<1).

47. Эллипс рассеяния. Вероятностный смысл расположения эллипса на координатной плоскости, круговое рассеяние.

Дан график пов-ти, образованной Гауссовыми кривыми (Z=f(x;y); x,y=const). Рассм. горизонтальное сеч.пов-тиZ=C, . Получим ур-е лин. Уровня ф-цииf(x;y)=C. Оно óпостоянности показателя степени:ур-е эл. с центром в т. (а₁; а₂) и осями || осям координат. Этот эллипс наз. эллипсом рассеяния норм.двумерного з-на распред.

||-ть осей эл. осям коор-т показывает независ. компонент. Повернув эл. и пов-тьZ=f(x;y), получим з-н распред. с зависимыми компонентами ( т.е. общ.вид норм. 2-мерного з-на распред. )

- ур-е элл.

При r=0 оси эл. || осям коорд-т, т.е. при r=0 ξ и η-независимы. Параметр r характеризует угол поворота эл. Мах знач-е r достигается при повороте эл. на 45^о.

48.Св-ва коэфф корреляции двумерного норм.з-на распред.

Параметр rr(ξ;η)=r – коэфф. корреляции. Если r =0, то ξ и η –независимы. Т.о. для норм.з-на распред. рав-во нулю коэфф. корреляции влечет независимость СВ. Ф-ла требует: r²<1, |r|<1.

При получаем, что СВ связаны линейной зависимостью η=αξ+β.

Т.о. для норм.з-на коэфф. корреляции имеет св-ва: 1) |r (ξ;η)|= |r|<1, 2) r(ξ;η)=0 ó ξ, η- независимы 3) r(ξ;η)→1, то в пределе η=αξ+β.

Т.о. для норм.з-на распред. коэфф. корреляции явл. мерой зависимости СВ.

49. Неравенство Чебышева

Предложение (Нер-во Ма́ркова) даёт оценку вероятности, что СВ превзойдёт по модулю фиксированную положит. константу, в терминах её мат. ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить опред. представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Пусть СВξ: Ω →R, ξ≥0 определена на вероятностном пр-ве (Ω;Γ;Ρ), и её математ. ожидание конечно. Тогда для любого ε>0: (1)

Следствие ( Нер-во Чебышёва)  утверждает, что СВ в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что СВ примет значение далёкое от своего среднего.

Пусть СВξ: Ω →R, определена на вероятностном пр-ве (Ω;Γ;Ρ), е1 мат. ожид. М и дисперсия Dконечны, тогда (2) ε>0.

50. Предельные теоремы Чебышева и Бернулли

Т. Чебышева. Рассм. бесконечную последовательность СВ ξ_1, ξ₂, …, ξ_n, …, которые независимы и одинаково распред. M(ξ_i)=a. D(ξ_i)=σ². Тогда при любом положит. ε справедливо рав-во: (1)

Т. Бернулли. Рассм. схему Бернулли с произвольным числом опытов. Пусть А интересующее нас событие и вероятность А: Р(А)=Р. Пусть μ_nчисло успехов в n опытах. Тогда при любом положительном ε (ε>0) справедливо рав-во: (2).Число успехов в n опытах есть сумма ξ_iот 1 до n, т.е. , тогда рав-во(2) принимает вид (3). (3) справедливо по т. Чебышева.

Из рав-ва (2) => при больших n вероятность близка к Р. Отношение наз. частотой появления события А в n опытах.

Т. Бернулли показывает, что при большом кол-ве опытов частота близка к вероятности.Т.Чебышева и ее частный сл. Т. Бернулли наз. з-ном больших чисел.

51. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Пусть ξ_1, ξ₂, …, ξ_n, … - бесконечная последовательность одинаково распределенных СВ. М(ξ _i)=а, D(ξ _i)=σ². Тогда (1). При большом n (1):

  Теорема. Если случайная величина ξ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то ξ имеет распределение, близкое к нормальному.

Частный сл. (ξ=1 при успехе, ξ=0 при неуспехе) Ф-ла (1) примет вид , т.е. вид Теоремы Муавра-Лапласа. Что явл. частным сл. Т. Ляпунова.

52.Выборка. Точечная оценка, ее несмещенность и состоятельность

Точечная оценка—просто приближенное знач-е числовой хар-ки, взятой из эксперимента.

Пусть изучается СВ ξ и θ (некоторая числовая хар-ка ξ). Рассм. ξ₁, ξ_2, …, ξ_n - последовательность, кот.независима и имеет общий з-н распред., совпадающий с з-ном распред. ξ. СВ ξ_i можно придать смысловые знач-я СВ ξ в i-ом опыте при проведении эксперимента, состоящего из n независимых опытов. Последовательность (ξ₁, ξ_2, …, ξ_n) можно рассм. как n-мерную СВ, кот. явл. моделью эксперимента, содержащего n опытов. Последовательность (ξ₁, ξ_2, …, ξ_n)- Выборка объемаn. В результате эксперимента эта выборка принимает знач-я (х₁, х₂, .., х_n). Эту последовательность тоже могут назв. выборкой. Пусть φ_n (х₁, х₂, .., х_n)- действительная ф-цияn-переменных.

Тогда θ_n*= φ_n(ξ₁, ξ_2, …, ξ_n). СВ θ_n* наз. точечной оценкой числовой хар-киθ. Данное опред. не дает связи м/ду оценкой и оцениваемым параметром, зн. на оценку нужно наложить дополнительные усл., кот. связывают ее с параметром: 1)несмещенностьθ_n*наз. несмещенной, если М(θ_n*)= θ. 2)состоятельность θ_n*наз. состоятельной, если .

Если имеются 2 несмещенные состоятельные оценки, то предпочтение отдается той у кот.меньше дисперсия.

53.Оценка мат. ожидания, ее св-ва

Точечная оценка мат. ожидания. Пусть θ=М(ξ); ξ:ξ_1, ξ₂, …, ξ_n. Выберем в кач-ве оценки след. СВ: Обозначим эту оценку .

Св-ва:1.несмещенность. . Построенная оценка явл. несмещенной. 2.состоятельность –з-н больших чисел.Т.о. оценка явл. состоятельной.

Интервальная оценка мат. ожидания Норм. з-н распред. опред. параметрами а (а=М(ξ)), σ. Рассмотрим сл. когда σ известно. Рассм. выборку (ξ_1, ξ₂, …, ξ_n), пусть γ- доверительная вероятность. Т.о. Случайный интервал является доверительным интервалом с параметрами а, σ: .

54. Смещенная и несмещенная оценка дисперсии.

Пусть θ=D(ξ); D(ξ)=M((ξ-M(ξ))²). Т.к. М(ξ)=то для дисперсии введем , зн. (1). Введем , (2). Преобразуя (2) получим: . Аналогично Получим ф-лу:, кот.повторяет ф-лу дисперсии.

Несмещенность оценки. зн. оценка явл. смещенной. Для получения несмещенной оценки введем поправочный множитель , где - несмещенная оценка для дисперсии.