matem1

1. Первообразная. Понятие неопределенного интеграла

Первообра́знойданной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. К результату первообразной прибавляется С, где С любое число.

Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов: . Каждая последующая первообразная отличается на С.

2. Свойства и таблица неопределенных интегралов

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.









Таблица интегралов

3.Способы инт-ия. Непосредственное инт-ие. Инт-ие подстановкой и заменой

Большинство интегралов кроме непосредственного интегрирования находятся с помощью подстановки т.е. методом замены переменной. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал т.к. подынтегральное выражение есть произведение подынтегральной ф-ии udx. Если учесть ф-лу вычисления дифференциала dF(x)=F’(x)dx, то можно на ее основе производить поднесение под знак дифференциала (xdx=d(x^2/2))

4. Способы инт-ия. Инт-ие по частям

Т.к. по правилу дифференцирования произведения имеем (u*v)’= u’*v+u*v’, а дифференциал d(uv)=du*v+udv, то формула интегрирования по частя имеет вид: Эта ф-ла используется когда новый интеграл получается проще исходного. Также используется правило: за множитель u надо выбрать такой из множителей, который при диффер-ии наиболее упрощается по сравнению с другими.

Интегрирование по частям применяется когда подынтегральная ф-ия представляет собой произведение двух ф-ий каждая из которых может быть многочленом, тригоном-ой, логориф-ой или показательной ф-ией.

5. Способы инт-ия. Инт-ие рациональных дробей. Простейшие дроби

Простейшие рациональные дроби являются правильными и бывают 4 типов:

1); 2); 3); 4)

Любую правильную рациональную дробь можно однозначно представить в виде суммы конкретных простейших дробей

Если подынтегральная дробь неправильна, то необходимо при интегрировании в начале путем деления числителя на знаменатель выделить ее целую и дробную части

6. Способы инт-ия. Инт-ие правильных и неправильных рациональных дробей

Рациональные дроби могут быть правильными и неправильными.

1); 2); 3); 4)

Правильная – если степень числителя строго меньше знаменателя, в противном случае - неправильная.

При интегрировании правильной дроби надо предствить ее в виде суммы конкретных простейших дробей 1-4.

Если подынтегральная дробь неправильна, то необходимо при интегрировании в начале путем деления числителя на знаменатель выделить ее целую и дробную части

7. Способы инт-ия. Инт-ие некоторых иррациональных выражений

1), где m, n, p, q – натуральные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей путем подстановки (x=u^t, dx=tu^(t-1)du.

2)Когда интеграл содержит

Данный интеграл сводится к табличным выделением в квадратном трехчлене полного квадрата.

8. Способы инт-ия. Инт-ие тригонометрический ур-ий

Инт-ие тригоном-ких рациональных выражений осуществляется с помощью универсальной тригоном-ой заменой tg(x/2)=t.

В случае когда триг-ое рациональное выражение является четной ф-ией т.е. содержит четные степени тогда чтобы избежать высоких степеней используют замену tgx^2=t. В результате такой замены получается рациональная дробь относительно «невысоких» степеней t.

Интег-ие произведения натуральных степеней производятся с помощью поднесения под знак дифференциала одного из нечетных степеней sin или cos и с использованием триг-их ф-л

1)

2)Когда обе степени четные тогда применяют формулы понижения степени

9. Интегральные суммы и их св-ва

Основное св-во интегральных сумм m(b-a)≤Sn≤Ŝn≤M(b-a)

Интегральной суммой для ф-ии y=f(x) неприрывной на отрезке (a;b) является сумма f(t1)*∆x1+…+f(tn)*∆xn=

*∆xi=Sn 

Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [а, b] точкам так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения

10. Опред. интеграл и теорема о его существовании

T. Если y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на нем.

Факты из Т.:

1)Опред. интеграл зависит только от вида подынтегральной ф-ии и пределов интегрирования. Такое св-во называют св-ом индифферентности(безразлич);

2)Из определения вытекает, что a<b, тогда при замене приделов интегрирования местами имеем =-;

3)Интеграл

11. Опред. интеграл и его св-ва

Определенный интеграл – это интеграл у которого есть пределы интегрирования.

1) Постоянный множитель выносится из под знака интеграла;

2) Определенный интеграл суммы есть сумма определенных интегралов;

3) Если на отрезке[a;b] для любых x, f(x)≤g(x), то ;

4) Если на отрезке[a;b] f(x) принимает наименьшее значение m и M - наибольшее значение, то m(b-a)≤≤M(b-a);

5) Теорема о среднем. Если непрерывная ф-ия на [a;b] интегрируема, то всегда на этом отрезке найдется точка

6) Для любых чисел a, b, с таких что a<c<b выполняется ;

12. Опред. интеграл и его вычисление. Формула Ньютона-Лейбница

Т…Если F(x) является первообразной неприрывной ф-ии f(x), то справедлива ф-ла Ньютона- Лейбница

Док-во: Пусть F(x) является первообразной неприрывной на [a,b] ф-ии f(x). Такая первообразная действительно будет существовать по теореме. А т.к. F(x) – первообразная f(x)? то они будут отличаться на константу С. . Данное равенство справедливо для любого x, главное чтобы на [a,x] ф-ия f(t) была непрерывной.

Пусть x=a, тогда

. , а по факту , тогда с=-F(a)

Пусть x=b, тогда

13. Опред. интеграл и методы его вычисления

Пусть имеется опред. интеграл вида у которого нижний предел зафиксирован, а верхний переменный, а т.к. опред. интеграл зависит от пределов инт-ия и не зависит от переменной t, то этот опред. интеграл будет принимать разные значения в зависимости от значения верхнего предела x.

Если ф-ия f(t) непрерывна на любом [a,x], то Ф’(x)=f(x).

Если F(x) является первообразной непрерывной ф-ии f(x), то справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница

При нахождении опред. интеграла в случае необходимости замены переменной надо изменить и пределы инт-ия.

14. Системы координат и способы задания в них ф-ий

Известно на пл-ти декартовая прямоугольная система коорд. Определяемая ортонормированным базисом и которые определяют ось абсцисс и ординат с началом координат в т. О. В которой всякая точка определяется однозначно двумя координатами (x,y), который являются проекциями на соответ-ие координатные оси. А т.к. всякая фигура представляет собой множество точек поэтому любая линия может быть записана в виде уравнения связывающего между собой x и y. Существуют такие кривые, которые задать одним ур-ем невозможно или очень сложно. Поэтому такие кривые задают параметрически:

15. Приложение опред. интегралов. Вычисление площадей

Исходя из геометрического смысла опред. интеграла имеем, что если ф-я y=f(x)≥0Vxε[a;b] в декартовой прямоуг. Системе координат площадь кривленной трапеции ограниченной снизу, осью абсцисс с верху, а с лева и с права параллельными прямыми.

Если кривая пресекает какую либо ось, то ее находят как площади ее частей S1= ; S2=

Если криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу кривыми дуг то:

S криволинейного сектора:

16. Приложение оипред. интегралов. Вычисление длин дуг

Пусть в декартовой системе координат непрерывная кривая на [a,b] задана y=f(x), тогда дуга AB находится

Пусть непрерывная кривая задана в декартовой системе параметрически, тогда длинна дуги находится:

Пусть в полярной системе задана непрерывная ф-ия r=r(φ), тогда дуга АВ находится как:

17. Комплексные числа. Алгебраическая форма.

Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой ,

Алгебраической формой комплексного числа ZεC называется его запись с помощью двух действительных чисел xεR; yεR в следующем виде: z=x+y*i, т.е. это алгебраическая форма комплексного числа. При этом x называют действительной частью комплексного числа z, а y – мнимой частью комплексного числа z. Поэтому любое действительное число будет иметь в этой форме мнимую часть =0. Т.к. всякое комплексное число определяется x и y, то его можно изобразить как точку с координатами (х;у) на комплексной пл-ти.

18. Комплексные числа. Тригон-ая и показательная ф-лы

Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой ,

Триг-ая форма комплексного числа:

Пусть дано z=x+yi тогда его можно изобразить точкой на комплексной пл-ти, которое будет задаваться не только x и y, но и расстоянием до начала координат, а также углом, который составляет радиус вектор с осью абсцисс. Тогда из полученного прямоугольного треугольника имеем x=rcosφ, y=rsinφ, тогда z=x+yi=rcosφ+rsinφi= r(cosφ+isinφ) – триг-ая форма комплексного числа z, где r=│z│=, φ=arg z.

Если комплексное число в алгебраической форме z=x+yi имеет своим модулем r и arg z=φ, то в показательной форме такое число будет иметь следующий вид z=r*

19. Комплексные числа и основные операции над ними

Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой ,

В алгебраической форме комплексные числа записываются как z=x+yi.

Комплексные числа можно складывать и отнимать т.е.:

Z1+Z2=(x1+y1i)(x2+y2i)=

x1+x2±(y1+y2)*i=x3±y3i

Умножать:

Z1*Z2=(x1+y1i)*(x2+y2i)=

(x1*x2)+(x1*y2i)+(y1i*x2)+

(y1i*y2i)=…=x3+y3i

Делить:

Возводить в квадрат и куб

(3+2i)^2=9+2*3*2i+(2i)^2=

9+12i-4=5+12i

20. Комплексные числа. Ф-ла Муавра

Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой ,

Если комплексное число в алгебраической форме z=x+yi имеет своим модулем r и arg z=φ, то в показательной форме такое число будет иметь следующий вид z=r*

Для нахождения степеней комплексных чисел применяют ф-лу Муавра, которая для положительных, целых чисел n в триг-ой и показательной формах имеют вид:[r(cosφ+isinφ)]^n=

(cosnφ+isinφ);

21. Комплексные числа. Ф-ла корня n-ой степени

Комплексное число – это мнимая единица обозначаемая буквой ,

Извлечение корней из комплексных чисел в триг-их и показательных формах производят по формуле:

22. Ф-ии нескольких переменных. Основные понятия

Под ф-ией нескольких переменных называется такое соответствие по которому нескольких значениях независимых переменных ставятся соответствия конкретное значение зависимой переменной, то есть значения ф-ии. Задания такой ФНП можно осуществить также как и ф-ии одной переменнной разными способами:

-Аналитически (в виде ф-лы)4

-Таблично;

-Графически;

-В текстовом виде.

z=F(x;y)- ф-ла задающая ФНП.

Областью определения z=F(x;y) будет множества пар чисел(множество точек)

23. Ф-ии нескольких переменных. Непрерывность и частные производные

Ф-ия z=F(x;y) называется непрерывной в т. (;) из D(z) если придел LimF(x;y)=F(;). Если в любой точке некоторой области ф-ия z=F(y) непрерывна, то вся область называется областью непрерывности ф-ии. Точка z=F(x;y) называется точкой разрыва

Для нахождения частной производной ’= надо найти производную рассматривая y как константу, а для нахождения ’= рассматривая x – const.

24. Ф-ии нескольких переменных. Локальный экстремум

ФНП z=F(x;y) имеет экстремум в точке (;) в виде локального max (min) если для любых точек из радиус окрестности r() при сколь угодно малом радиусе r выполняется неравенство F(;)≥F(x;y) (F(;)≤F(x;y)). При этом наибольший из всех локальных max (наименьших min) называется глобальным max (min) ФНП.

Теорема: Если ф-ия z=F(x;y) в точке (;)єD(F) имеет локальный экстремум, то эта точка является стационарной точкой ф-ии. Локальный экстремум надо искать только в стационарных точках

25. Ф-ии нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение заданной области

Пусть на области D задана непрерывная ф-ия z=F(x;y). Область D является частью области определения DεD(F) и представляет собой часть координатной пл-ти xoy как множества точек с координатами (x;y) лежащих внутри D, которая ограничена некоторым контуром. Тогда наибольшее и наименьшее значения ф-ии z=F(x;y) следует искать среди точек внутри или на самом контуре L.

1)Наибольшее и наименьшее значения z=F(x;y) внутри контура L следует искать среди стационарных точек;

2)Среди критических точек или среди граничных точек в которых формула заданная L меняет свой вид;

3)После установления координат таких точек находят значения ф-ии z=F(x;y) и сравнивая их находят наибольшее и наименьшее значения

26. Ф-ии нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал

Линейная (относительно ∆x и ∆y) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz:

где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям ∆x и ∆y.

Пусть задана функция z=f(x;y). Если аргументу x сообщить приращение ∆x, а аргументу y – приращение ∆y, то функция z=f(x;y). получит приращение ∆z, которое называется полным приращением функции и определяется формулой: ∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x,y). Функция z=f(x;y)., полное приращение ∆z которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно ∆x и ∆y, и величины бесконечно малой высшего порядка относительно):

27. ДУ-1 основные понятия

Диф-ми называются ур-ия, в которых искомыми являются ф-ии одной или нескольких переменных, причем в эти ур-ия входят как сами искомые ф-ии, так и их произв-ые

Порядок старшей из произв-ых или старшего из диф-ла искомой ф-ии называется порядком диф-ого ур-ия.

Если искомая ф-ия зависит от одного аргумента, то диф-ное ур-ие называют

обыкновенным.

Если искомая ф-ия зависит от нескольких переменных и ур-ие содержит частные

производные, то оно

называется ур-ем в частных производных.

Диф-ое ур-ие n-ого порядка в общем случае имеет вид:F(x, yⁿ, y^n-1, … y’, y)=0

Решением диф-ого ур-ия n-ого порядка называется ф-ия  f(x), имеющая на некотором интервале (a,b) производные до порядка n включительно, которая будучи представлена в ур-ие обращает его в тождество F(x,f(x), f’(x), … fⁿ(x))=0

График решения диф-ого ур-ия называется интегральной кривой этого уравнения.

Процесс нахождения решения диф-ого ур-ия называется интегрированием уравнения.

28. ДУ-1 с разделенными и разделяющимися переменными

ДУ-1 могут иметь следующий вид φ(x)dx+ψ(y)dy=0, то оно называется с разделенными переменными. И в случае непрерывности ф-ии φ(x) и ψ(y) такое равенство можно проинтегрировать с учетом св-ва интегралов.

Если ДУ-1 представлена в виде φ1(x)+ψ1(y)dx+

φ2(x)φ2(y)dy=0 то оно называется с разделяющимися переменными т.к. простые алгебраи-ие операции позволяют преобразовать его к ДУ с разделенными переменными. Такое разделение следует провести перед его интегрированием.

29. ОДУ-1

Уравнение вида y’=f()–ОДУ-1

ОДУ-1 приводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены =u отсюда y=ux

y’=(ux)’=u’x+u

30. ЛДУ

y’+p(x)*y=f(x) – называется линейным ДУ первого порядка. Если f(x)≡0, то это ур-ие однородное, в противном случае неоднородное.

Для решения уравнения используются подстановка y=u(x)*v(x). Тогда, по правилу дифф-ия произведения y’=(uv)’=u’v+uv’ подставляя в ур-ие получим y’+p(x)*y=f(x)

u’v+uv’+p(x)*uv=f(x)

Группируем второе и треть слагаемое ф-и и выносим за скобки

u’v+u*(v’+p(x)*v)=f(x)

Далее скобку приравниваем к 0 v’+p(x)*v=0

Тогда u’v=f(x)

31. ДУ в полных дифференциалах

Уравнение З(x;y)*dx+Q(x;y)*dy=0 – ур-ие в полных дифференциалах если его целая часть представляет собой полный диф-ал некоторой ф-ии u(x;y). Тогда это ур-ие можно переписать в виде: du(x;y)=0, а его общий интеграл u(x;y)=c.

Для того чтобы выражение p(x;y)dx+Q(x;y)dy являлось полным диф-лом надо чтобы во всех точках выполнялось условие

32. ДУ-1 Бернулли

y’+p(x)y=f(x)- уравнение Бернулли

Разделим обе части на

Z(x)=

Z’(x)=1-α*

33. ДУ высшего порядка, позволяющие его понизить

Такие ДУ позволяют с помощью определенных методов свести их решение к ДУ-1

Например:

1)=f(x) – такие ДУ интегрируются столько раз, каков порядок этого ДУ;

2)F(y”,y’,x)=0 – тогда заменой y’=u(x), а значит y”=u’(x). Данное ДУ приводится к ДУ-1, которая имеет вид: Ф(u’,u,x)=0

3)F(y”;y’;y)=0 – такое ДУ понижает порядок до первого заменой y’=u; y”=u*y’=u’*u

34. ЛОДУ

ДУ вида ay”+by’+cy=0, где а≠0, а,в,с=const – ЛОДУ-11

Решение ЛОДУ-11 основано на нахождении корней его характеристического ур-ия. Хар-им ур-ем ЛОДУ-11 называется квадратное уравнение которое получается из ЛОДУ-11 заменой производных 1 и 11 порядка на первую и вторую степень λ. Для нахождения общего решения ЛОДУ-11 находят фундаментальную систему его решений т.е. общее решение ЛОДУ имеет вид y=c1y1+c2y2.

Случаи решений:

1)Если Д>0 – два различных действительных корня, тогда

2)Если Д=0, то ЛОДУ имеет два одинаковых действительных корня

3)Если Д<0, то два комплексных корня. λ1=a=bi λ2=a-bi

35. ЛНОДУ с постоянными коэф. И спец. Правой частью

Уравнение вила аy”+by’+cy=f(x) называется ЛНОДУ-11 с постоянными коэффициентами, а если ф-ия f(x) имеет вид 1) f(x)=(x)* – со спец. правой частью.

Общим решением ЛНОДУ-11 является такая ф-ия у которая представима в виде суммы двух ф-ий y=+ỹ

ỹ=Pn(x)**, где к – число совпадений.

Если правая часть ЛНОДУ-11 представима в виде ф-ии 2)

f(x)=((x)cosβx+(x)sinβx)

То частное решение ỹ также имеет определенный вид который определяется по виду 2. После того как по виду f(x) определен общий вид ỹ, его вместе со своими 1-й и 2-й производными подставляют в исходное ЛНОДУ и из полученного равенства получают неизвестные коэффициенты.

36. Двойной интеграл и его вычисление

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла анологично вычислению определенного интеграла, а значит двойной интеграл обладает теми же св-ами, что и определенный.

Вычисление ∫∫ сводится к повторному интегрированию для чего необходимо:

1)Определить по каким переменным будет находиться внутренний и внешний интеграл.

2)Для чего определяют правильность области инт-ия D вдоль какой то оси. Тогда если D правильная вдоль оси OX, То внутренний интеграл по Х, а если OY, то y.

3) затем расставить пределы инт-ия по правилу: внешнего по линиям, внутреннего по точкам.

37. Приложение двойных интегралов

С помощью ∫∫ можно вычислить площадь плоской фигуры по ф-ле S=∫∫dxdy, где S – площадь фигуры Д.

1)V=∫∫f(x,y)ds

1’) V=∫∫f(x,y)dxdy

2) =∫∫ds

2’) =∫∫dxdy

38. Тройной интеграл и его вычисление

Вычисление ∫∫∫ для прямоугольной области:

Пусть область V представляет собой параллелепипед{a≤x≤b; c≤y≤d; e≤z≤f}

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=

Вычисление ∫∫∫ в криволинейной области

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=

39. Приложение тройного интеграла

Тройной интеграл обладает теми же св-вами его вычисления , что и двойной, и определенный. Он имеет вид: ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

1)∫∫∫dxdydz=v, где v – объем области V.

2)∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dxdydz= α∫∫∫f(x,y,z)dxdydz+

β∫∫∫g(x,y,z)dxdydz

Теорема о среднем:

Пусть f(x,y,z)непрерывна в ограниченной области V тогда существует точка pεv такая, что ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=f(P)*v