ОиАС-1
.pdfПример 1.2.1. Оптимальное стабилизирующее управление в системе «генератор – двигатель».
Пусть в системе «генератор – двигатель» найдено оптимальное программное управление u1*(t) и u2*(t). Эти функции порождают программное движение xi*(t) (i=l…4), которое находится путем численного интегрирования уравнений (1.1.18), (1.1.19) на ЭВМ, используя какой-либо из методов численного интегрирования.
При этом в (1.1.18), (1.1.19) u1= u1*(t), u2= u2*(t).
x& |
= x |
; x& |
2 |
= a ϕ |
(x |
|
)x |
4 |
+ a |
2 |
x |
2 |
x2 |
; |
|
|
(1.1.18) |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
1 1г |
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
x& |
= − |
|
1 |
x + |
1 |
u ; |
x& |
|
|
= − |
1 |
|
|
x |
|
+ |
1 |
u |
|
(1.1.19) |
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|||||||||||||||||
3 |
T1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
T2 |
|
||||||||||||
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Реальные начальные значения положения вала двигателя, его скорости, токов в обмотках возбуждения отличаются от расчетных из-за погрешностей при «установке» угла или скорости двигателя в начальный момент времени. Поэтому реальное движение будет отличаться от расчетного (программного).
31
Переходя к уравнениям возмущенного движения, отметим, что невозмущенное движение удовлетворяет уравнениям:
x&1* = x2* ;
x&2* = a1ϕ1г (x3* )x4* + a2 x2* (x4* )2 ;
x& |
* = − |
1 |
|
x* |
+ |
1 |
u* ; |
||||
|
|
|
|||||||||
3 |
T1 |
3 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
T1 |
|
||||||
x& |
* = − |
1 |
x* + |
1 |
u |
* |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
4 |
T2 |
4 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
T2 |
|
|||||
Так как возмущенное движение удовлетворяет уравнениям (1.1.18), (1.1.19), то
x&1* +δx&1 = x2* +δx2 ;
x&2* +δx&2 = a1ϕ1г (x3* +δx3 )(x4* +δx4 )+ a2 (x2* +δx2 )(x4* +δx4 )2 ;
x& |
* +δx& |
= − |
1 |
|
(x* |
+δx )+ |
1 |
|
(u* |
+δu ); |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
3 |
T1 |
3 |
3 |
T1 |
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x& |
* +δx& |
|
= − |
1 |
|
(x* +δx |
)+ |
1 |
|
(u* +δu |
) |
|||||
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
T2 |
4 |
4 |
|
T2 |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32
Учитывая уравнения невозмущенного движения, получим
δx&1 = δx2 ;
δx&2 = a1 [ϕ1г (x3* +δx3 )(x4* +δx4 )−ϕ1г (x3* )x4* ]+ a2 [(x2* +δx2 )(x4* +δx4 )2 − x2* (x4* )2 ];
δx& |
|
= − |
1 |
δx + |
1 |
|
δu ; |
(1.2.11) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
T1 |
3 |
T1 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
δx& |
|
= − |
1 |
|
δx |
|
+ |
1 |
|
δu |
|
|
|||
4 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
T2 |
|
|
|
T2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В качестве показателя отклонения реального движения от расчетного примем интеграл
J = t∫1 |
(q11δx12 + q22δx22 +γ11δu12 +γ22δu22 )dt |
(1.2.12) |
t0 |
|
|
q11, q22, γ11, γ22 – заданные положительные числа.
Оптимальное стабилизирующее управление δuk(δx1, δx2, δx3, δx4, t) (k = 1,2) должно минимизировать этот функционал на движениях систем (1.2.11) при начальных условиях
4 |
(t0 )≤ ε 2 |
|
∑δxi |
(1.2.13) |
|
i=1 |
|
|
ε определяется погрешностями реализации начальных состояний δxi(t0) (i=l…4).
33
Физическая реализация стабилизирующих управлений осуществляется с помощью дополнительных обмоток возбуждения
34
Во многих случаях контроль отклонений истинного движения от программного осуществляется не по переменным состояния, а по переменным, называемым
регулируемыми (управляемыми) переменными. Они связаны с отклонениями по каждой переменной состояния соотношением
n |
|
|
|
|
θi = ∑nij x j |
(i =1, m) |
(1.2.14) |
||
j=1 |
|
|
|
|
θi (i=1… m) – регулируемые переменные.
Критерий, с помощью которого оцениваются эти отклонения, имеет вид
J = t1 |
(m |
q |
(0 )δθ 2 |
+ m |
γ |
kk |
δu 2 )dt |
(1.2.15) |
∫ ∑ |
|
ii i |
∑ |
|
k |
|
||
t0 |
i=1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
35
Особенности оптимальных систем программного управления и стабилизации
36
Общая структурная схема реализации программного и стабилизирующего управлений
Различие способа функционирования системы программного управления и системы стабилизации
Система программного управления
Начальные условия (1.1.2) должны быть известны до
начала проектирования
Управления являются явными функциями времени (управление осуществляется по разомкнутому циклу)
Система стабилизации
Начальные условия неизвестны, известно лишь, что они находятся в пределах,
устанавливаемых
неравенством (1.2.2)
Управления являются функциями измеряемых переменных состояния (управление осуществляется по принципу обратной связи)
Система программного управления
Эффективность работы системы оценивается определенным интегралом (1.1.4), в котором функция φ0(x, u, t) определяется физической природой объекта управления
Использование уравнений первого приближения при построении программного управления, как правило, недопустимо.
Система стабилизации
Критерий (показатель) качества (1.2.9) функционирования часто не связан с физической природой объекта управления, а его коэффициенты qii (i=l… n) определяются исходя из инженерных требований
При построении стабилизирующего управления обычно используют уравнения первого приближения. Это объясняется тем, что стабилизирующее управление предназначено для уменьшения отклонения δxi(t) (i=l… n), а при малых значениях этих отклонений уравнения (1.2.4) и (1.2.5) имеют близкие решения, так как функции oi(i=l… n) зависят от квадратов, кубов
ит. д. этих отклонений, и поэтому эти функции можно опустить.
1.3. Развитие понятий оптимального
39
управления
Стабилизирующее управление при внешних воздействиях (возмущениях)
40
Причиной возмущенного движения часто является неполнота знаний о внешних воздействиях на объект управления в его программном движении.
Уравнения (1.1.1) при учете внешних возмущений имеют вид |
|
x& = ϕ(x,u,f , t ) |
(1.3.1) |
f(t) – µ-мерный вектор внешних воздействий.
Будем полагать, что эти функции имеют две составляющие:
известную – f *(t) (i=1… µ) |
неизвестную – δf (t) (i=1… µ) |
i |
i |
Повторяя изложенное в § 1.2, получим уравнения возмущенного движения с учетом внешних воздействий.