- •7. Дисперсионный анализ
- •7.1 Основные понятия
- •7.2 Однофакторный дисперсионный анализ
- •7.2.1. Теория однофакторного дисперсионного анализа
- •7.2.2. Планирование эксперимента при однофакторном дисперсионном анализе.
- •7.3 Двухфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1. Общие теоретические соображения
- •7.3.2. Планирование эксперимента при двухфакторном дисперсионном анализе
- •7.3 Трёхфакторный дисперсионный анализ
- •7.3.1 Общие теоретические соображения
- •7.3.3. Планирование эксперимента при трёхфакторном дисперсионном анализе
- •7.4. Многофакторный дисперсионный анализ
- •7.4.1. Общие теоретические соображения
7.4. Многофакторный дисперсионный анализ
7.4.1. Общие теоретические соображения
При четырёхфакторном эксперименте в представленную выше серию из k фрагментов электронной таблицы могли бы вместиться данные, полученные только при одном значении четвёртого фактора. При полном четырёхфакторном эксперименте таких серий потребуется целый блок в количестве, равном количеству q уровней варьирования этого четвертого фактора. Отмеченная выше громоздкость планирования трёхфакторного эксперимента возрастает в q раз.
При дальнейшем увеличении количества факторов (до К штук) эта громоздкость растёт лавинообразно и планирование эксперимента по представленной выше методике
становится процедурой явно нереализуемой. Следовательно, эта методика должна быть скорректирована: упрощена с учётом конкретного количества факторов в конкретном исследуемом процессе.
Это давно сделано и используется на практике. При этом следует особо подчеркнуть, что Итоговая таблица многофакторного эксперимента (её макет показан на следующем листе) остаётся практически неизменной. Все итоги и здесь вычисляются по «заготавливаемым» предварительно промежуточным величинам:
СК∑, КЧi иКЧ∑, а также формулам ((έ) = [СК∑ –КЧq + КЧ∑]и др.), заблаговременно записанным в соответствующих ячейках электронной рабочей таблицы.
Макет Итоговой таблицы многофакторного эксперимента
(К – общее количество исследуемых факторов)
(S –количество уровней фактораК)
Источники дисперсии |
Математи-ческое ожидание дисперсии |
Итоговая сумма квадратов дисперсии (Σ∑) = СК∑ –КЧ∑ |
Кол-во степеней свободы f дисперсии |
Выборочная оценка дисперсии | |||
Весь экспермент
|
σ2 |
(Σ∑) =СК∑ –КЧ∑ |
fli = n - 1
|
(Σ∑) N - 1 | |||
Случайные факторы |
σέ2 |
(Σέ) =СК∑–КЧi+ КЧ∑ |
fέ =fi |
(Σέ) fέ | |||
Фактор 1 |
NАσ12 + σέ2 |
(Σ1έ)=КЧ1–КЧ∑ |
f1έ=n-1 |
(Σ1έ) | |||
Фактор 2 |
NВσ22 + σέ2 |
(Σ2έ)=КЧ2 –КЧ∑ |
f2έ =m-1 |
(Σ2έ) | |||
Фактор 3 |
NСσ32 + σέ2 |
(Σ3έ)=КЧ3 –КЧ∑ |
f3έ = k -1 |
(Σ3έ) | |||
…… |
…… |
…… |
…… |
…… | |||
Фактор k |
NkσК2 + σέ2 |
(ΣКέ)=КЧk–КЧ∑ |
fkέ=S -1 |
(ΣZέ) | |||
s А2 выборочная оценка дисперсии σА2≡ σ12 |
| ||||||
s В2 выборочная оценка дисперсии σВ2≡ σ22 |
| ||||||
s С2 выборочная оценка дисперсии σС2≡ σ32 |
| ||||||
…………………………. |
| ||||||
s К2 выборочная оценка дисперсии σZ2≡σК2 |
|
Примечания: 1.N = (nmk…S), NА= (mk… S), NВ = (nk.. S), NС= (mn… S):n,
…,NS= (nmk… S):K, где K- количество уровней k–того фактора, а
NА,NВ, NС иNS – объёмы выборок при неизменных уровнях1,2,3,
и S-го фактора, соответственно.
2. fέ = fli– (fА+ fB+ fС,..,+ fZ) =N –1– (n –1+m–1+k–1+…+k–1) =
= N – [(n +m+k+…+S– (S-1)].
Такова самая общая теория и методология планирования эксперимента при дисперсионном анализе.
Что касается практических методик планирования многофакторного эксперимента при дисперсионном анализе, то они будут рассмотрены в следующем Разделе, а настоящая глава в целом должна стать для них (практических методик) теоретическим и методологическим фундаментом, на котором всегда строятся конкретные рабочие методики.