ОАиП. Лекция 1. Системы счисления. 9

ОАиП. Лекция 1. Системы счисления.

Система счисления – способ представления числовой информации.

В основе счета всегда лежит сопоставление – предметы счета сопоставляются со счетными средствами (палочки, камешки, пальцы рук и т.д.)

7 ворон. Можно нарисовать 7 раз ворону. А можно 1 ворону и 7 палочек (точек).

| - палец.

Возможно, так возник символ единицы. Можно им и обойтись. Очень удобно для подсчета дней в темнице.

Удобнее обозначать целые множества отдельными знаками.

Десятичная система (пятеричная, двадцатеричная) – это еще не совсем то, к чему мы привыкли. Просто считали десятками. 56 – это 5 человек и еще 6 пальцев.

Римская система:

Непозиционная.Вес цифры не зависит от ее позиции в числе:

I V X L (50) C (100) M (1000)

XX 20

XXI 21

XXVI26

MMXIII– 2013

Как правило, меньшие цифры справа

Слева только одна меньшая и она вычитается:

IV4

IX9

XC – 90

1999 – MCMXCIX

Причем вычитали 1 из 5 или 10, 10 из 50 или 100, 100 из 1000 и т.д. Вычитать можно было только 1 символ.

Но можно и по-другому (так обычно не делали):

MCMIC

MIM

Был способ, при котором вычитание запрещалось:

MDCCCCLXXXXVIIII

Удобно? Для умножения пары чисел больше 100 пришлось бы исписать несколько страниц.

Недостатки:

1. Для новых больших чисел нужно придумывать новые символы.

2. Неоднозначная запись больших чисел.

3. Длина числа не зависит напрямую от его веса (более длинное число может обозначать меньшее к-во).

4. Крайне неудобная арифметика.

В Вавилоне, Египте, Греции были свои системы, очень похожие на римскую.

Все они одинаково неудобны. Современная система счисления появилась в Индии. В Европе она стала известна от арабов и потому называется арабской. Первое упоминание – начало 13 века.

Позиционные системы

Позиционная – вес цифры зависит от места в числе. Важная особенность – обязательно наличие 0.

444 = 4*100+4*10+4

2002 = 2*1000+0*100+0*10+2 = 2*10³+0*10²+0*10¹+2*10⁰

10 – Основание системы счисления

Любое число можно представить:

n=a_n10ⁿ+a_n-110^n-1+…+a₁10¹+a₀10⁰

где n – позиция цифры в числе (0 - самая правая), a_n– цифра в этой позиции.

Могут быть и другие системы счисления (восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная и т.д.)

В общем случае:

n=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p¹+a₀p⁰

где p – основание системы счисления.

Основание системы – это количество цифр, которое используется в системе. Поскольку 0 обязателен, старшая цифра в любой системе p-1.

Для десятичной старшая цифра – 9.

Для восьмеричной – 8,

для двоичной ?

для шестнадцатеричной – 15 = F(A,B,C,D,E,F)

Двоичная система

Двоичную системупридумали задолго до компьютеров.

Еще Готфрид Вильгельм Лейбниц увидел особый смысл этой системы.

Она предельно проста. Только 2 цифры.

Причем 1 всегда интерпретируется как истина, 0 - ложь

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Таблица умножения:

0*0=0

0*1=0

1*1=1

Одна цифра в двоичной системе – это минимум информации (0 или 1, да или нет).

Меньше информации быть не может. Двоичная цифра называется бит. Бит может принимать значения 0 или 1.

Такую кодировку удобно использовать в технике. Множество технических устройств имеют 2 состояния: включено/выключено, горит/не горит, есть сигнал/нет сигнала,высокое напряжение//низкое, магн.сердечник, дырочка в карте, пиксел на экране.

Только один недостаток – длинные числа.

2002₁₀= 11111010010₂

Алгоритм перевода из двоичной в десятичную:

Число	1	1	1	1	1	0	1	0	0	1	0
n	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
2n	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

1024+512+256+128+64+16+2=2002

Алгоритм перевода из десятичной в двоичную:

413	2
4	206		2
13	0		103	2
12			1	51	2
1				1	25	2
					1	12	2
						0	6	2
							0	3	2
								1	1

110011101₂=413₁₀

Такое число крайне неудобно для человека – невозможно запомнить, легко ошибиться при записи.

Для удобства решили использовать систему, которая была бы поближе к десятичной, но при этом ее основание было бы степенью числа 2. Сначала это была восьмеричная, а затем шестнадцатеричная системы.