ОАиП.
Лекция 1. Системы счисления.
ОАиП. Лекция 1. Системы счисления.
Система счисления – способ представления числовой информации.
В основе счета всегда лежит сопоставление – предметы счета сопоставляются со счетными средствами (палочки, камешки, пальцы рук и т.д.)
7 ворон. Можно нарисовать 7 раз ворону. А можно 1 ворону и 7 палочек (точек).
| - палец.
Возможно, так возник символ единицы. Можно им и обойтись. Очень удобно для подсчета дней в темнице.
Удобнее обозначать целые множества отдельными знаками.
Десятичная система (пятеричная, двадцатеричная) – это еще не совсем то, к чему мы привыкли. Просто считали десятками. 56 – это 5 человек и еще 6 пальцев.
Римская система:
Непозиционная.Вес цифры не зависит от ее позиции в числе:
I V X L (50) C (100) M (1000)
XX 20
XXI 21
XXVI26
MMXIII– 2013
Как правило, меньшие цифры справа
Слева только одна меньшая и она вычитается:
IV4
IX9
XC – 90
1999 – MCMXCIX
Причем вычитали 1 из 5 или 10, 10 из 50 или 100, 100 из 1000 и т.д. Вычитать можно было только 1 символ.
Но можно и по-другому (так обычно не делали):
MCMIC
MIM
Был способ, при котором вычитание запрещалось:
MDCCCCLXXXXVIIII
Удобно? Для умножения пары чисел больше 100 пришлось бы исписать несколько страниц.
Недостатки:
Для новых больших чисел нужно придумывать новые символы.
Неоднозначная запись больших чисел.
Длина числа не зависит напрямую от его веса (более длинное число может обозначать меньшее к-во).
Крайне неудобная арифметика.
В Вавилоне, Египте, Греции были свои системы, очень похожие на римскую.
Все они одинаково неудобны. Современная система счисления появилась в Индии. В Европе она стала известна от арабов и потому называется арабской. Первое упоминание – начало 13 века.
Позиционные системы
Позиционная – вес цифры зависит от места в числе. Важная особенность – обязательно наличие 0.
444 = 4*100+4*10+4
2002 = 2*1000+0*100+0*10+2 = 2*103+0*102+0*101+2*100
10 – Основание системы счисления
Любое число можно представить:
n=an10n+an-110n-1+…+a1101+a0100
где n – позиция цифры в числе (0 - самая правая), an– цифра в этой позиции.
Могут быть и другие системы счисления (восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная и т.д.)
В общем случае:
n=anpn+an-1pn-1+…+a1p1+a0p0
где p – основание системы счисления.
Основание системы – это количество цифр, которое используется в системе. Поскольку 0 обязателен, старшая цифра в любой системе p-1.
Для десятичной старшая цифра – 9.
Для восьмеричной – 8,
для двоичной ?
для шестнадцатеричной – 15 = F(A,B,C,D,E,F)
Двоичная система
Двоичную системупридумали задолго до компьютеров.
Еще Готфрид Вильгельм Лейбниц увидел особый смысл этой системы.
Она предельно проста. Только 2 цифры.
Причем 1 всегда интерпретируется как истина, 0 - ложь
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Таблица умножения:
0*0=0
0*1=0
1*1=1
Одна цифра в двоичной системе – это минимум информации (0 или 1, да или нет).
Меньше информации быть не может. Двоичная цифра называется бит. Бит может принимать значения 0 или 1.
Такую кодировку удобно использовать в технике. Множество технических устройств имеют 2 состояния: включено/выключено, горит/не горит, есть сигнал/нет сигнала,высокое напряжение//низкое, магн.сердечник, дырочка в карте, пиксел на экране.
Только один недостаток – длинные числа.
200210= 111110100102
Алгоритм перевода из двоичной в десятичную:
Число |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
n |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2n |
1024 |
512 |
256 |
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
1024+512+256+128+64+16+2=2002
Алгоритм перевода из десятичной в двоичную:
413 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
206 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
13 |
0 |
|
103 |
2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
1 |
51 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
25 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1100111012=41310
Такое число крайне неудобно для человека – невозможно запомнить, легко ошибиться при записи.
Для удобства решили использовать систему, которая была бы поближе к десятичной, но при этом ее основание было бы степенью числа 2. Сначала это была восьмеричная, а затем шестнадцатеричная системы.