Лекция №2
Касательная к линии. Естественная параметризация и длина дуги.
Рассмотрим некоторую линию в прямоугольной системе координат в Е3.
-гладкая линия класса Ск.
rang (x(t),y(t),z(t))=1
M0 M1 0
MM1=r(t+∆t)- r(t)
Терема:2.1. Каждой точки М гладкой линии класса Ск заданной векторным уравнениям существует касательная, которая определяется т.М и направляющим вектором .
Доказательство:
1). Вектором - направляющий вектор секущей ММ1.
2). Устремим ∆t к нулю. секущая прямой -направляющий вектор касательной.
3). Рассмотрим другую параметризацию данной кривой ,получаем по условию гладкости .
То
Естественная параметризация кривой
Определение:2.2. Параметризация S регулярной линии, называется естественной, если векторная функция R=R(S), заданная на промежутке I0 и определяющая кривую в этой параметризации обладает свойством
Покажем что для всякой регулярной кривой существует естественная параметризация . Пусть S естественная параметризация линии L, тогда существует некоторая функция s=s(t) выражающая естественный параметр через произвольный параметр s’=s’(t)0, по определению допустимой замены параметра. Будем считать что s’(t)>0существует функция ей обратная t=t-1(s) –строго возрастающая. По естественному параметру l:R=R(S) по произвольному параметру l1 : r=r(t). Если в записи кривой L в уравнение включить оба параметра R(S)=r(t(S))-получили следующую функцию. т.к S естественный параметр
. Из I0I
Т.к функция s=s(t) является допустимой заменой параметра, то s’(t) >0 из = значит всегда существует допустимые изменения параметра осуществляющие переход от произвольной параметризации к естественной. переход от t к S.
Длина дуги является геометрическим обоснованием естественной параметризации. Определитель =1 – условие естественной параметризации.
Вектор является направляющим вектором касательной к линии в соответствующей т.М, называется единичным вектором касательной к линии и обозначается .
Если даны для линии две естественные параметризации S и S* то они связанные соотношением S*= и .
Кривизна и кручение линии в естественной параметризации.
Определение 2.3 Вектор называется вектором кривизны.Его длина обозначается и называется кривизной линии в точке М. На всей линии кривизна является функцией параметра S.
Определение 2.4. Число , где 0 называется радиусом кривизны в данной точке (по лемме 1.12)
Теорема 2.5. Для того чтобы связанная линия была простейшей, необходимо и достаточно чтобы кривизна была равна нулю в каждой точки линии.
Связной линией называется линия, состоящая из точек распределения, т.е r’(s)║ r’’(s).
Доказательство:
1). Пусть - простейшая (прямая), тогда : 0 ,где
p и r0 –постоянные векторы точки.
2). Пусть кривизна равна нулю, для любой точки из формулы кривизны
Параметрическое задание прямой
Определение 2.6. Прямая проходящая через т.М ║ (M,N) называется главной нормалью линии т.М.
главная нормаль касательной.
Определение 2.7. Вектор равный отношению называется единичным вектором главной нормали
Определение2.8. Прямая проходящая через т.М и вектор называется бинормалью линии в точке М. -единичный вектор бинормаль
По определению векторное произведение
Определение 2.9.. Четверка состоящая из т.М, векторов определяет прямоугольную систему координат (ортонормированный репер) и обозначается Rn называемый каноническим репером линии в т.М.
Определение 2.10. Плоскости, обратные: т.М,- соприкасающая плоскость, т.М, n,-нормальная плоскость т.М,-спрямляющая плоскость.
Т.к точка М подвижна то Rn тоже подвижен.
Соприкасающая плоскость является единственной плоскостью имеющая с кривой точку касания 2го порядка.
Определение 2.11. Фигура образованная тремя прямыми (М,n), (M,),(M,b) и тремя плоскостями называется сопровождающим трехгранником кривой .
Спрямляющая плоскость (М,) делит пространство, на два полу пространства. Одно из которых является полупространством вогнутости. Вектор n однозначно определяется кривой относительно естественного параметра, а вектор и могут иметь свои направления.