Лекция 5

Полный четырехвершинник, его гармонические свойства. Построение четвертой гармонической. Проективные отображения прямой на прямую. Проективные отображения пучков прямых.

Определение 5.1. Совокупность четырех точек общего положения и шести прямых, попарно соединяющих эти точки, называется полным четырёхвершинником.

Определение 5.2. Противоположными называются

стороны, не имеющие общей вершины (AB и DC, AD и BC, АС и BD).

Определение 5.3. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными, а прямые, попарно

соединяющие диагональные точки, называются диагоналями.

Свойства полного четырехвершинника.

1. На каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек: одна пара точек этой четверки – вершины, другая образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки.

2. На каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек: одна пара точек этой четверки – диагональные точки, другая – точки пересечения сторон, проходящих через третью диагональную точку, с данной диагональю.

3. Через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых: одна пара прямых – две противоположные стороны, другая – две диагонали.

В силу свойств полного четырехвершинника построение четвертого гармонического элемента может быть выполнено проективными средствами, т.е. с помощью одной линейки.

Построение четвёртой гармонической точки к трем данным

З адача №1. Пусть дана прямая и различные точки . Построить точку прямой , такую, что

Решение.

1. Проводим через точку две произвольные прямые и .

2. Через точку проводим произвольную прямую : .

3. Проводим прямые и : .

4. Проводим прямую - полный четырехвершинник.

5. По свойству 2 точка пересечения стороны с диагональю является четвертой гармонической к точкам .

Задача №2. Построить четвертую гармоническую точку к трем данным точкам на расширенной прямой.

Решение.

1. Возьмем на расширенной прямой репер . Пусть точка имеет координаты относительно данного репера. По свойству сложного отношения четырех точек имеем: и значит .

2. Построим точку по координатам относительно данного репера.

Проективные отображения прямых и пучков.

Пусть даны две произвольные прямые и на проективной плоскости.

Определение 5.4. Взаимно однозначное отображение множества точек прямой на множество точек называется проективным отображением, если сохраняется сложное отношение четырех точек .

Теорема 5.5. Если на различных прямых и заданы соответственно реперы , то существует единственное проективное отображение, переводящее репер R в репер .

Определение 5.6. Проективное отображение прямых и , при котором произвольная точка переходит в точку ,так что точки коллинеарны, где - произвольная точка проективной плоскости, отличная от и и не принадлежащая данным прямым, называется перспективным отображением с центром в точке О.

Обозначение перспективного отображения:

Два прямолинейных ряда и называются перспективными, если они перспективны одному и тому же пучку, или иначе, если они являются сечениями одного и того же пучка, т.е. все прямые, соединяющие соответственные точки рядов и , пересекаются в одной точке (согласно рисунку точке О).

Лемма 5.7. Любое проективное отображение одной прямой на другую может быть разложено в композицию не более двух перспективных отображений, если прямые и различны, и не более трех перспективных отображений, если прямые и совпадают.

Свойства перспективного отображения.

1. Перспективное отображение биективно;

2. Общая точка прямых при перспективном отображении переходит в себя;

3. При перспективном отображении сохраняется двойное или сложное отношение четырех точек

Теорема 5.8. (Паскаля – Паппа).

Пусть на различных прямых взяты по три различных точки и . Точки пересечения прямых лежат на одной прямой.

Доказательство.

1.Рассмотрим проективное отображение

. Определим это проективное

отображение как композицию двух перспективных

отображений

2. Введем дополнительные точки

3. Рассмотрим образы точек прямой А₄А₅ при двух перспективных отображениях

Проективное отображение , переводящее А₄А₅ в А₅А₆, переводит точку А₅ в себя, а значит - перспективное отображение по свойству 3.

4. Найдем центр перспективы. Так как , то центр перспективы совпадает с точкой пересечения прямых .

5. Точка , следовательно PQ проходит через R, а значит, P,Q,R коллинеарны.

Определение 5.9. Взаимное отображение пучка на пучок называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех прямых.

Теорема 5.10. Существует единственное отображение, переводящее пучка в пучок , переводящее прямые пучка в прямые пучка .

Определение 5.11. Два пучка и называются перспективными, если они перспективны одному и тому же прямолинейному ряду (прямой), или иначе, если они проектируют один и тот же ряд, следовательно, все точки пересечения соответственных прямых пучков и лежат на одной прямой , называемой осью перспективы.

Теорема 5.11. (признак перспективного отображения пучка).

Для того чтобы данное проективное отображение одного пучка на другой было перспективным необходимо и достаточно, чтобы прямая, проходящая через центры пучков, переходила в себя.