Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 9 / Лекция 4

.doc
Скачиваний:
52
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
226.82 Кб
Скачать

Лекция 4

Cложное отношение 4-х точек проективной прямой и проективной плоскости, свойства. Выражение двойного отношения через однородные аффинные координаты. Понятие разделенности пар точек.

Сложное отношение четырех прямых пучка.

Сложное отношение является основным инвариантным проективным преобразованием, как простое отношение точек на аффинной плоскости или длина отрезка.

На проективной плоскости возьмем прямую . На прямой рассмотрим проективный репер и четыре различные точки А=, В=, С= и D=.

Определение 4.1. Сложным отношением четырех точек прямой называется число, которое выражается следующей формулой:

(AB,CD)= (1)

Сложное отношение называют также двойным, и суть его состоит в следующем: сложное отношение показывает, в каком отношении пара точек делит пару точек .

Замечание 4.1.1. Если на прямой задан проективный репер , то нетрудно, пользуясь формулой (1), доказать, что сложное отношение будет выражаться так: , где в данном репере.

Понятие сложного отношения четырех точек можно определить и через понятие коллинеарности трех точек на проективной плоскости.

Определение 4.2. Сложным отношением 4-х точек, отличных от базисных, заданных своими координатными столбцами А=, В=, С=, D= называется число, равное отношению отношений , где действительные числа, такие что и .

Координатная запись: , и ,

Свойства сложного отношения четырех точек

  1. Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора проективного репера на прямой;

  2. Сложное отношение четырех точек прямой не зависит от выбора координатных столбцов из класса пропорциональных столбцов;

  3. При перестановке пар точек сложное отношение не меняется ;

  4. При перестановке точек одной пары сложное отношение меняется на обратное , ;

  5. При перестановке точек двух пар сложное отношение не изменяется (AB,CD)=(BA,DC);

  6. если в четверке есть одинаковые точки, то сложное отношение определяется:

D=C(AB,CC)=1; D=B (AB,CD)=0; D=A (AB,CA)=

  1. при перестановке крайних (средних) точек, сложное отношение меняется на дополнительное при единице: (AB,CD)=1- (DB,CA)=1-(AC,BD).

Теорема 4.3. (существование и единственность точки, находящейся с данными тремя точками в сложном отношении)

Если A,B,C – различные точки, а - действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х, такая, что .

Доказательство

1.Существование. Рассмотрим проективный репер R=(A,B,C,) и точку X в этом репере. По замечанию 4.1.1. к определению 4.1 точка Х имеет координаты . Значит, .

2. Единственность. Предположим, что точка Х’(х12) и сложное отношение . По замечанию к определению 4.1 . Значит, или , т.е. .

Следствие: Если на прямой даны точки А,В,С,D и А’,В’,С’,D , причем сложное отношение этих четверок совпадает, то .

Теорема 4.4. (геометрический смысл сложного отношения 4-х точек на расширенной прямой)

Если точки А,В,С,D - собственные точки расширенной прямой, а - несобственная точка расширенной прямой, то сложное отношение точек)= ; .

Доказательство

1. Рассмотрим проективный репер, образованный точками . Тогда в нем , А(0,1),В(1,1). Пусть С(с1,с2), D(d1,d2).

2. По формуле нахождения сложного отношения найдем:

    1. Выразим простые отношения данные в условии. Для этого определим координаты А,В,С,D в системе : , . Имеем, что А(0), В(1), С(с), D(d), где .

По формуле простого отношения находим и .

    1. Подставив получившиеся равенства в условие теоремы, легко доказывается истинность равенств и .

Гармонические четверки

Пусть точки А,В,С,D принадлежат одной прямой. Говорят, что пара СD разделяет пару АВ, если их сложное отношение меньше 0, в противном случае пара СD не разделяет пару АВ.

Понятие разделенности не зависит от порядка рассмотрения пар АВ и СD и от порядка рассмотрения точек А,В,С,D.

Определение 4.5. Четверка точек А,В,С,D называется гармонической, если сложное отношение равно -1.

Свойства гармонической четверки

  1. В гармонической четверке пары разделяют друг друга;

  2. Гармонизм точек не нарушается при таких перестановках, которые не меняют состава пар.

Теорема 4.6. Для того чтобы четверка точек расширенной евклидовой прямой, содержащая одну несобственную точку и три собственных, была гармонической необходимо и достаточно, чтобы точка, находящаяся в паре с несобственной, была серединой отрезка, образованного другими двумя собственными точками.

Доказательство

  1. ()Пусть . Докажем, что точка С – является серединой AB. По теореме 4.4. имеем: , или C- середина;

  2. () Доказывается в зависимости от расположения несобственной точки.

Пусть А – несобственная точка, тогда В - середина CD. По свойствам сложных отношений имеем:

Определение 4.7. Сложным отношением четырёх прямых пучка называется число равное отношению двух отношений , где действительные числа, такие что и .

Теорема 4.8. Пусть - различные прямые, принадлежащие пучку. A,B,C,D – четыре точки, инцидентные одной прямой, не проходящей через центр пучка, образованные при пересечении прямых a,b,c,d и данной прямой.

Тогда сложное отношение четырёх точек равно сложному отношению четырёх прямых (AB,CD)= (ab,cd).

Доказательство

1. Условие принадлежности точки прямой можно записать в матричном виде

или

  • точка

  • точка

  • точка

  • точка

2. По определению сложного отношения прямых и точек имеем:

3. Подставим в условие принадлежности полученные равенства:

Ч.т.д.

Свойства сложного отношения точек и прямых

Утверждение 4.9.

Если четыре прямых пучка пересечены двумя прямыми, то на этих прямых получаются четвёрки точек, имеющих равные двойные отношения:

Утверждение 4.10

Если четыре точки, лежащие на одной прямой инцидентны четырём прямым одного пучка и четырем прямым другого пучка, то двойные отношения четвёрок прямых равны

Соседние файлы в папке вопрос 9