ГОСЫ / вопрос 9 / Лекция 2

Лекция 2.

Координаты точки на проективной прямой и проективной плоскости. Условие коллинеарности трех точек прямой. Уравнение прямой. Преобразование проективных координат.

Определение 2.1. Точками общего положения называется система к-точек, причем К≥3, если никакие три из них не лежат на одной прямой.

Определение 2.2. Проективным репером или проективной системой координат на проективной плоскости называется упорядоченная система точек Е₁ , Е_{2 ,} Е_{3 ,} Е.

Точки Е₁ , Е_{2 ,} Е_{3 ,} называют координатными точками, а Е – единичной точкой репера.

Определение 2.3. Реперами согласованности называются векторы, порожденные проективным репером_.

Если выбраны так, что , то говорят, что система этих векторов согласована относительно репера R.

Лемма 2.4. Если каждая из систем векторов () и () согласованы относительно данного репера , то существует такое число , не равное нулю, что , , , .

В проективном пространстве Р_n проективный репер задаётся n+2 точками общего положения [Р₁: R=(Е₁, Е₂, Е)].

Координаты на проективной плоскости

Пусть некоторый вектор порождает в проективной плоскости точку Х. В системе координат вектор можно выразить через базисные векторы .

Но так как векторы порождают проективную плоскость и проективную систему координат, то числа называются проективными координатами точки Х в проективном репере.

Х не является нулевым вектором, поэтому все его координаты не равны нулю, а, значит, координаты точки Х одновременно не могут равняться нулю.

Определение 2.5. Проективными координатами точки на проективной прямой (проективной плоскости) относительно проективного репера называют координаты вектора, порождающего данную точку, относительно базиса векторного пространства, согласованного с репером .

Свойства координат:

1. В проективном пространстве точка имеет к+1 координату;

2. Нет точки с нулевыми координатами;

3. Координаты – однородный набор чисел, поэтому они определяются с точностью до числового множителя;

4. Пропорциональные наборы определяют одну и ту же проективную точку.

Лемма 2.6. Если однородный набор является координатами некоторой точки Х в репере R, а система векторов () является согласованной относительно этого репера, то вектор также порождает точку Х, следовательно, Х=λУ (они порождают одну и ту же точку).

Задача: построить точку относительно проективного репера .

Теорема 2.7. (о принадлежности трёх точек одной прямой)

Три проективные точки Х, У, Z, заданные своими координатами

, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда

Доказательство

1. Пусть задан репер , его векторы согласованы относительно R. Отсюда следует, что вектор порождает точку Х, - У, – Z;

2. Для того, чтобы точки Х, У, Z лежали на одной прямой необходимо, чтобы векторы , , располагались в одной плоскости аффинного пространства, т.е. они компланарны, а, значит, определитель

Проекция проективной точки на координатные прямые

Пусть задан репер R = (A₁, A₂, A₃, E) и Х – произвольная точка проективного пространства, Х₃ = (A₃X) ∩ (A₁A₂).

R₁ = (A₂, A₃, Е₁),

R₂ = (A₁, A₃, Е₂),

R₃=(A₁,A₂,Е₃) – проективные реперы.

Теорема 2.8. (о координатах проекции точки на координатную прямую)

Если произвольная точка Х (х₁ : х₂ : х₃), не совпадающая с A₃, в репере R спроецирована на прямую (A₁A₂), то в репере R₃ её проекция Х₃ будет иметь координаты (х₁ : х₂ ).

Доказательство

1. Т.к. точка Х₃ принадлежит прямой (А₁А₂), то в репере она имеет координаты (y₁ : y₂ : 0). Точки A₃, X₃, X коллинеарны. Следовательно,

2. Т.к. точка Е₃ принадлежит прямой (А₁А₂), то в репере она имеет координаты (z₁ : z₂ : 0). Точки А₃, Е, Е₃ коллинеарны. Следовательно,

3. Пусть некоторая согласованная система векторов порождает проективный репер R, вектор - точку Х₃, вектор - точку Е₃. Тогда имеем: (*), (**)

Из равенства (**) следует, что система векторов согласована относительно репера R₃. Тогда из равенства (*) получаем, что вектор имеет координаты (х₁, х₂). Значит, точка Х₃ имеет координаты (х₁ : х₂ ) в репере R₃.

Однородные и неоднородные координат на расширенной прямой и расширенной плоскости

Рассмотрим на расширенной прямой проективный репер

Система векторов согласована относительно данного репера, т.е.

М – произвольная точка, имеющая координаты относительно проективного репера .

На прямой рассмотрим аффинный репер , порожденный проективным репером . Пусть - координата точки М в аффинном репере , т.е. , .

Следовательно, точка М имеет координаты относительно репера . Учитывая, введенные выше обозначения для проективных координат точки М, получили , . Отсюда и

Таким образом, аффинные координаты собственной точки М равны отношению проективных координат этой точки в репере .

Проективные координаты называют однородными координатами точки М, аффинные - неоднородными координатами точки М.

Аналогичная связь между аффинными координатами и проективными координатами собственной точки прослеживается и на расширенной плоскости в репере : .

Уравнение прямой

Рассмотрим проективный репер R = (A₁, A₂, A₃, E) на проективной плоскости. Прямая задана точками и . Точка - произвольная точка прямой . По теореме 2.7. имеем:

- уравнение прямой проходящей через две точки.

Разложив определитель по элементам первого столбца, имеем: , где - соответствующие разложению определители второго порядка. - координаты прямой.

Точки прямой порождены линейно зависимыми векторами соответственно, а значит справедливы равенства:

- векторное уравнение прямой;

- параметрические уравнения прямой.

Преобразование проективных координат.

Рассмотрим на проективной плоскости два проективных репера и . Точки порождаются системой согласованных векторов , т.е. . Известно положение нового репера относительно старого, то есть известны координаты новых координатных точек и относительно репера , порожденных соответственно системой векторов :

, , ,

Задача. Найти связь между координатами точки М относительно реперов и

1. Выразим векторы, репера через векторы репера :

(*)

2. Рассмотрим два случая.

1 случай. Система векторов согласована относительно репера , т.е. . (**)

• Из (*) и (**) следует, что в этом случае выполняется совокупность равенств: , , .

• Так как произвольная точка проективной плоскости порождается различными векторами и в реперах и , то по лемме 2.6. , где . Разложим векторы и по векторам соответствующих базисов: . Подставим вместо их разложения из формул (*):

()+()+()=

• Так как векторы линейно независимы, то, приравнивая коэффициенты при соответствующих векторах в левой и правой частях получившегося выражения, имеем искомые формулы преобразования координат:

• Матрица перехода от нового проективного репера к старому: . Определитель матрицы отличен от нуля, так как точки - неколлинеарные, векторы их порождающие - линейно независимы.

2 случай. Система векторов не согласована относительно репера , т.е. .

• Согласуем систему векторов относительно репера : возьмем вместо векторов векторы , , согласованные относительно репера и порождающие точки соответственно, т.е. (***).

• Запишем равенство (***)в координатной форме:

,

, (****)

• Рассмотрим (****) как систему с неизвестными . Так как система - неоднородна и определитель отличен от нуля, то определяются однозначно, причем не равны нулю одновременно.

• Матрица - матрица перехода от репера к реперу

Замечание. Аналогичные рассуждения приводят к формулам преобразования координат на проективной прямой: .