12.Плоскость Лобачевского. Аксиомы плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского.

Основные вопросы

Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости

Лобачевского и их свойства. Угол параллельности, функция Лобачевского, ее свойства. Модели плоскости Лобачевского (Бельтрами, Клейна, Кэли-Клейна,Пуанкаре). Теоремы о сумме углов треугольника (доказать одну из них). Признак равенства треугольников по трем углам.

13.Длина отрезка. Аксиомы длины. Площадь многоугольника. Аксиомы площади. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.

Основные вопросы

Аксиомы длины и площади. Формулировка теоремы о существовании и единственности длины отрезка. Доказательство теоремы о существовании и единственности площади многоугольника. Формулы площади прямоугольника, треугольника, трапеции. Определение равновеликих и равносоставленных фигур. Теорема Гервина-Бойяи о связи равновеликих и равносоставленных фигур на плоскости. Понятие о теореме Дена-Кагана в теории объемов.

[1],гл.4, §§13,14,15,17.

[7], гл. 9, §§73-76. Школьный учебник по геометрии под ред. Л.С.Атанасяна «Геометрия 7-9».

14.Понятие линии. Гладкие линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная. Длина дуги.

Основные вопросы

Определение векторной функции одного скалярного аргумента. Векторное и параметрическое уравнения линии. Доказать теорему о существовании касательной к гладкой линии. Формула длины дуги кривой. Параметризация кривой. Сопровождающий трехгранник кривой. Уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой.

[1], раздел 5.гл.2, §§11,12.

[4], гл. 14, §§72,73. [7], гл. 6, §§48-51.

15.Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация с помощью

вектор-функции двух скалярных аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, теорема о существовании касательной плоскости.

Основные вопросы

Определение векторной функции двух скалярных аргументов. Определение поверхности. Векторное и параметрическое уравнения поверхности. Криволинейные координаты точек на поверхности. Теорема о существовании касательной плоскости к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной различными уравнениями.

Литература

Основная

1. Базылев ВТ., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия: учебное пособие для 1 курса физ.-мат. фак. пед.ин-тов. – Подольск: Просвещение, 2004.

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2003.

3. Атанасян Л.С. Геометрия, ч. I. - М.,Просвещение, 1973.

4. Атанасян Л.С. , Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. II. - М.,Просвещение, 1975.

5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: учебное пособие. - М.: Физматлит, 2004.

6. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: учебное пособие для пед. ин-тов, ч.I. - М., Литер, 2008.

7. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: учебное пособие для пед. ин-тов, ч.II. - М., Литер, 2008.

8. Панкратов А.А. Начертательная геометрия. М.Учпедгиз,1959.

9. Мищенко А.М. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии: учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004.

10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник, 37-е издание, стер. – СПб.: Лань, 2008.

Дополнительная

1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.I.,ч.II. - СПб.: Специальная литература,1997.

2. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. - М.: Просвещение, 1980.

3. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для пединститутов. - М.Наука,1983.