7. Исследование функции на выпуклость и перегиб

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), x<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f (x)0 (f (x)0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Определение 2. Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀). Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , гдеx₀ – точка возможного перегиба. Если

1) f (x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

2) f (x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

Варианты заданий

Задание №1.

Пользуясь определением, найти производную функции:

1. 4.7.10.

2. 5.8.11.

3. 6.9.12.

Задание №2.

Найти дифференциалы функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Задание №3.

Найти производную второго порядка функции:

1. 3.5.7.

2. 4.6.8..

Задание №4.

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀:

1. ,x₀=-1 4. ,x₀=2 7. ,x₀=1

2. x₀=-1 5. ,x₀=3 8. ,x₀=5

3. x₀=4 6. ,x₀=0 9. ,x₀=-2

Задание №5.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

1. , [0;4]

2. , [-2;1]

3. , [-2;2]

4. ,

5. ,

6. [2;4]

7. , [-1;7]

8. , [-1;2]

9. , [-1;6]

10. , [-4;-1]

11. , [2;4]

12. , [1;9]

13. , [-4;2]

14. , [0;4]

Задание №6.

Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба:

1. 6.11.

2. 7.12.

3. 8.13.

4. 9. 14.

5. 10.

Образцы выполнения заданий

Задание №1

Пример 1.

Пользуясь определением, найти производную .

Решение.

Придадим значению аргумента х приращение х0. Функция y=f(x) получит при этом приращение у=f(x+x)-f(x):

.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

Найдем предел этого отношения при х0:

.

Следовательно, по определению производной .

Пример 2.

Пользуясь определением, найти производную .

Решение.

Придадим значению аргумента х приращение х0. Найдем соответствующее приращение функции: .

Тогда . Вычислим предел этого отношения прих0:

.

Следовательно, .

Пример 3.

Пользуясь определением, найти производную .

Решение.

Придадим значению аргумента х приращение х0. Найдем приращение функции:

.

Используя формулу , получим

.

Тогда

.

И, следовательно,

.

Итак,..

Задание №2

Пример 1.

Найти дифференциал функции .

Решение.

Перепишем функцию в виде . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: (uv)=uv+uv.

.

Тогда .

Пример 2.

Найти дифференциал функции , |x|<1.

Решение.

Данная функция является сложной: y=arcsint, где . Применим правило дифференцирования сложной функции:.

.

Тогда .

Пример 3.

Найти дифференциал функции .

Решение.

Данная функция является показательно-степенной. Запишем ее в виде . По правилу дифференцирования сложной функции, гдеt=tgx ln(sinx). Тогда

.

Значит, .

Задание №3

Пример.

Найти производную второго порядка функции .

Решение.

Применяя правила дифференцирования, получим

.

Для нахождения второй производной надо продифференцировать первую производную:

.

Задание №4

Пример.

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссойx₀=1.

Решение.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид

.

Вычислим значение функции в данной точке: .

Найдем производную функции и ее значение в данной точке:

, .

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

, - уравнение касательной.

Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид

.

Подставим найденные значения в это уравнение:

, - уравнение нормали.

Задание №5

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [2;5].

Решение.

1) Найдем критические точки функции.

,

f (x)=0    .

На отрезке [2;5] знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

(x-1)³-8=0  (x-1)³=8  x-1=2  x=3.

Значит, х=3 – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.

Найдем значение функции в критической точке: .

2) Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

, .

Задание №6

Пример 1.

Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба.

Решение.

1. Найдем область определения функции.

D(f)=, т. к. данная функция – многочлен.

2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

Найдем вначале критические точки функции.

.

D(f )=, т. к. производная тоже является многочленом.

f (x)=0  x=1 или х=2 или х=3. Следовательно, x=1, х=2, х=3 – критические точки функции.

Нанесем критические точки функции на числовую прямую и определим знакипроизводной в каждом из получившихся промежутков.

На промежутках

(-;1], [2;3] функция убывает, на промежутках [1;2], [3;+) функция возрастает.

Точки х=1 и х=3 – точки минимума функции, min f(x)=f(1)=f(3)=0.

Точка х=2 – точка максимума функции, max f(x)=f(2)=1.

3. Исследуем функцию на выпуклость, найдем точки перегиба.

f (x)=4((x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2))=4(x²-5x+6+x²-4x+3+x²-3x+2)=4(3x²-12x+11).

f (x)=0  3x²-12x+11=0  .

Нанесем точки х₁ и х₂ на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.

На промежутках ифункция выпукла вниз, на промежуткефункция выпукла вверх. Точки и являются точками перегиба.

Пример 2.

Исследовать функцию на монотонность и выпуклость, найти экстремумы и точки перегиба.

Решение.

1. Найдем область определения функции.

D(f):   D(f)=(0;1)(1;+).

2) Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

, D(f )=(0;1)(1;+).

f (x)=0  lnx=1  x=e. Следовательно, x=e – критическая точка функции.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.

На промежутках (0;1), (1;e) функция убывает, на промежутке (e, +) функция возрастает. Точка x=e – точка максимума, maxf(x)=f(e)=e.

3) Исследуем функцию на выпуклость, найдем точки перегиба.

.

D(f )=(0;1)(1;+) f (x)=0  lnx=2  x=e².

Точкаx=e² - точка возможного перегиба. Определим знаки второй производной в промежутках (0;1), (1;e²), (e²;+).

На промежутках (0;1), (e²;+) функция выпукла вверх, на промежутке (1;e²) функция выпукла вниз. Точка x=e² - точка перегиба.

Пример 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1) .

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, не является периодической.

3) Функция непрерывна на области определения, т.к. является элементарной, х=-3 – точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

, .

Следовательно, х=-3 – точка разрыва второго рода, прямая х=-3 – вертикальная асимптота графика функции.

4) Исследуем поведение функции при х+ и при х-:

, .

Следовательно, прямая у=0 – горизонтальная асимптота графика функции при х-. Других наклонных асимптот при х- нет.

5) Выясним, есть ли наклонные асимптоты при х+:

.

Следовательно, при х+ наклонных асимптот нет.

6) Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

,

х=-2 – точка минимума, у(-2)=е – минимум.

7) Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.

=

.

на D(f), y не существует в точке х=-3.

Точек перегиба нет.

8) Найдем точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства.

Ось Ох график не пересекает.

Ось Оу: х=0, .

y>0 при x(-3;+), y<0 при x(-;-3).

.