- •Теоретическая часть
- •1. Производная и дифференциал
- •2. Уравнения касательной и нормали
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные основных элементарных функций
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Исследование функции на монотонность и экстремум
- •7. Исследование функции на выпуклость и перегиб
- •Варианты заданий
Теоретическая часть
1. Производная и дифференциал
Пусть функция f определена в V(x0). Придадим точке х0 произвольное приращение так, чтобыx0+xV(x0). Тогда функция f(x) получит приращение .
Определение 1. Производной функции f в точке х0 называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.
Обозначается ,,,,.
Таким образом, по определению 1 .
Пусть f имеет производную в каждой точкеx множества D. Поставим в соответствие точке хD производную функции в этой точке: . Это соответствие определяет функциюаргументах, определённую на D. Она называется производной функцией от функции f.
Определение 2. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, может быть представлено в виде
,
где - некоторое число, не зависящее от,
- функция от , бесконечно малая при, т.е..
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную , при этом.
Т. о., приращение дифференцируемой в точке х0 функции f(x) имеет вид
.
Из теоремы 1 получаем второе определение дифференцируемой в точке функции.
Определение 3. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она в этой точке имеет конечную производную.
Операция нахождения производной функции f(x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f(x).
Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Определение 3. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента .
Обозначается dy, . Т. о., согласно определению
.
Рассмотрим функцию ,, то есть для независимого аргументах дифференциал и приращение совпадают: .
Определение 4. Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение :.
Тогда из определения дифференциала следует
.
2. Уравнения касательной и нормали
Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0;f(x0)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)
Т. о., если функция f дифференцируема в точке х0, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .
Тогда уравнение касательной имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M0(x0;y0). Тогда , и, значит, уравнение нормали имеет вид
.
3. Правила дифференцирования
Теорема 3. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы их сумма, произведение и (при условии, что ) частное, при этом справедливы равенства
,
,
.
Следствие 1. Если u(x) дифференцируема в точке х, а , то функцияy=Cu(x) также дифференцируема в точке х и .
Следствие 2. Если функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то в точке х дифференцируема их разность y=u(x)-v(x), причем
.
Теорема 4. Если функция t=(x) дифференцируема в точке х0, а функция y=f(t) дифференцируема в точке , то сложная функцияy=f((x)) дифференцируема в точке х0, и для производной в этой точке имеет место формула:
(кратко:).