Метод.Пересечение поверхностей-печать

Рис. 10. Построение линии сечения в двух плоскостях проекций

Рис. 11. Построение третьей проекции пирамиды с линией сечения

11

Рис. 12. Определение натуральной величины фигуры сечения

2. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

При пересечении кривой поверхности плоскостью получается фигура сечения, ограниченная плоской кривой линией.

Для построения линии сечения любой кривой поверхности плоскостью необходимо найти ряд точек, принадлежащих одновременно как плоскости, так и данной поверхности, и соединить эти точки плавной кривой.

В зависимости от положения секущей плоскости относительно плоскостей проекций возможны два варианта решения – частный и общий случаи.

2.1. Частный случай

Частный случай рассматривается, если секущая плоскость занимает частное положение (является проецирующей или плоскостью уровня). При этом линия сечения определяется без вспомогательных построений с использованием правил определения недостающих проекций точек на поверхностях.

12

Задача 3. Рассмотрим в качестве примера пересечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р (рис. 13).

Рис. 13. Исходные данные для решения задачи на пересечение конуса плоскостью частного положения

Решение задачи начинается с определения опорных точек искомой линии сечения. В качестве таких точек рассматриваются точки пересечения следа секущей плоскости с очерковыми (точки 1 и 5) и осевыми (точки 4 и 6) образующими конуса (рис. 14). Линией пересечения будет являться эллипс, поэтому для более точного определения характера этой кривой необходимо назначить дополнительные (промежуточные) точки. На рис. 14 в качестве таких точек предлагаются пары симметричных точек 2 и 8, 3 и 7.

Рис. 14. Построение линии сечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью

13

Выбор точек выполнен во фронтальной плоскости проекций. Определение их горизонтальных проекций выполняется с использованием параллели и образующих. Пара точек 4 и 6 привязывается к поверхности конуса с помощью параллели, которая в плоскости П1 выглядит горизонтальной окружностью. Проекции 41 и 61 определяются как точки пересечения этой окружности с осевыми линиями. Пары точек 2 и 8, 3 и 7 привязываются к поверхности конуса с помощью образующих. Горизонтальные проекции этих точек находятся на горизонтальных проекциях образующих. Построение понятно из рис. 14.

Далее необходимо построить третью профильную проекцию конуса с линией сечения (рис. 15). Построенная линия сечения имеет эллиптический характер и проецируется на плоскости проекций с искажениями. Натуральную величину этой линии необходимо определить способом замены плоскостей проекций (рис. 15). Построение понятно из чертежа.

Рис. 15. Построение третьей проекции пересекающихся элементов и определение натуральной величины эллипса сечения

2.2. Общий случай

Общий случай пересечения кривых поверхностей плоскостями рассматривается, если секущая плоскость является плоскостью общего положения. В этом случае линия сечения определяется с помощью вспомогательных построений.

14

Чтобы найти произвольную точку линии пересечения, необходимо:

1)ввести в решение задачи вспомогательную секущую плоскость, удобным образом расположенную относительно данных элементов;

2)построить линии пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью и данной плоскостью;

3)определить точки пересечения построенных линий пересечения – точки, принадлежащие искомой линии;

4)поступая аналогично, рассмотреть еще несколько вспомогательных плоскостей для получения достаточного количества точек линии сечения;

5)найденные точки соединить плавной кривой с учетом видимости. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы линии

пересечений ее с данными поверхностями проецировались в виде простейших элементов – окружностей или прямых.

Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти другим способом:

1)на данной поверхности проводится ряд образующих;

2)определяются точки пересечения этих образующих с плоскостью;

3)полученные точки соединяются плавной кривой линией с учетом видимости.

Задача 4. Рассмотрим поэтапное решение задачи на пересечение прямого кругового конуса плоскостью общего положения Р, заданной следами (рис. 16).

Рис. 16. Исходные данные для решения задачи на пересечение конуса плоскостью общего положения

В данном примере по исходным данным определяются две точки пересечения горизонтального следа плоскости и основания конуса – точки 1 и 2, которые будут принадлежать искомой линии сечения (рис. 17).

15

Рис. 17. Определение точек пересечения горизонтальных следов конуса и плоскости

Дальнейшие построения выполняются с помощью вспомогательных элементов. Введем в решение задачи вспомогательную фронтальную плоскость А, проходящую через очерковые образующие конуса. Это плоскость помогает определить точки, лежащие на очерке и являющиеся граничными точками для определения видимости линии сечения. Фронтальная плоскость А будет пересекать данную плоскость Р по фронтали, а конус, как уже было определено, – по очерковым образующим. По рисунку 18 видно, что левая очерковая образующая в сечении не участвует. Поэтому на пересечении фронтали и правого очерка определяем точку 4, принадлежащую искомой линии сечения и являющуюся границей ее видимости.

Далее введем в решение задачи вспомогательную горизонтальную плоскость В, дающую две точки искомой линии сечения – точки 3 и 7 (рис. 19), а также горизонтальную плоскость Г, дающую еще одну точку искомой линии сечения – точку 6 (рис. 20). Горизонтальные плоскости В и Г пересекают данную плоскость Р по горизонталям, а конус – по окружностям.

В ходе дальнейших построений определяется крайняя верхняя точка линии сечения, лежащая на линии ската. Для этого в решение задачи вводится еще одна вспомогательная плоскость, перпендикулярная горизонтальному следу данной плоскости и проходящая через вершину конуса (рис. 21). В результате этих действий определяется точка 5.

16

Рис. 18. Использование в решении задачи вспомогательной фронтальной плоскости А

Рис. 19. Использование в решении задачи вспомогательной горизонтальной плоскости В

17

Рис. 20. Использование в решении задачи вспомогательной горизонтальной плоскости Г

Рис. 21. Использование в решении задачи вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскости Т

18

Все точки, определяющие линию сечения, построены. Далее необходимо эти точки соединить плавной кривой линией с учетом видимости и построить третью профильную проекцию (рис. 22).

Рис. 22. Построение третьей проекции пересекающихся конуса и плоскости общего положения, заданной следами

Натуральная величина фигуры сечения в данном примере определяется способом замены плоскостей проекций, так как плоскость фигуры сечения занимает общее положение относительно плоскостей проекций (рис. 23).

При первой замене в новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость фигуры сечения становится проецирующей и вырождается в линию. Для этого новая ось проекций проводится перпендикулярно горизонталям плоскости сечения (см. рис. 23). Далее, при второй замене в новой системе плоскостей проекций П4/П5 проецирующая плоскость становится плоскостью уровня и отображается в натуральную величину. Для этого новая ось проекций проводится параллельно вырожденной проекции плоскости сечения (см. рис. 23).

19

Рис. 23. Определение натуральной величины фигуры сечения способом замены плоскостей проекций

Задача 5. Рассмотрим еще один пример на пересечение кривой поверхности (прямого кругового конуса) плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью

(рис. 24).

20