Примеры решения задач

Пример 1. Два одинаковых маленьких шарика имеющих заряды q₁ = 10^-3 Кл и

q₂= - 0.3·10^-3 Кл, приведены в соприкосновение и затем раздвинуты на расстояние r = 20 см. Найти силу взаимодействия между ними.

Решение: После соприкосновения на обоих шариках заряды стали одинаковыми, так как одинакова ёмкость шариков. На основании закона сохранения зарядов заряд каждого из шариков после соприкосновения будет

Сила взаимодействия между ними ,

Пример 2. Два одинаковых заряженных шарика массой m, подвешенные на нитях равной длины, опускаются в жидкий диэлектрик, плотность которого ρ₁ и диэлектрическая проницаемость ε₁. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы углы их расхождения в воздухе и диэлектрике были одинаковы?

Дано: m, ρ₁, ε₁, α.

Найти: ρ

Решение: До погружения в жидкий диэлектрик, т.е. в воздухе, на каждый шарик (рис.а) действуют сила тяжести , кулоновская силаи сила натяжения нити. При равновесии шариков

++= 0

После погружения в жидкий диэлектрик на каждый шарик (рис. б) действуют сила тяжести , кулоновская сила, выталкивающая (архимедова) силаи сила натяжения нити. При равновесии шариков

+++= 0

Кулоновская сила отталкивания шариков в воздухе (из треугольника на рис а)

F_к=mgtgα, (1)

в диэлектрике –

F_к1=(mg- F_А)∙tgα, (2)

(учли выталкивающую силу). В диэлектрике кулоновская сила уменьшается в ε₁ раз, так что

(3)

Тогда

(4)

Поделив (4) на (1), получим

(5)

По закону Архимеда

F_A= ρ₁Vg,

где ρ₁ – плотность жидкого диэлектрика; V – объём шарика; g- ускорение свободного падения. Масса шарика m=ρV, где ρ– плотность материала шарика.

Подставив эти выражения в формулу (5), получим

,

Откуда искомая плотность материала шарика

.

Ответ:

Пример 3. Три точечных отрицательных заряда Q=-3нКл каждый находятся в вершинах равностороннего треугольника. Определите, какой заряд Q₀ следует поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии.

Дано: α=60º, Q=-3нКл=-3∙10^-9Кл.

Найти: Q₀

Решение: Рассмотрим силы, действующие на заряд Q в одной из вершин треугольника (см.рисунок) со стороны зарядов Q, находящихся в двух других вершинах треугольника:

и (1)

эти силы равны (F₁=F₂) и направлены под углом α=60º друг от друга.

Чтобы рассматриваемый заряд Q находился в равновесии, в центр треугольника следует поместить положительный зарядQ₀, действующий на заряд Q. Условие равновесия рассматриваемого заряда Q имеет вид:

++=0

откуда следует (при условии F₁=F₂), что

Или, учитывая выражение (1),

Поскольку , можно записать

.

Учитывая, что (см.рисунок), получаем

Откуда искомый заряд

Поскольку система находится в равновесии, заряды, находящиеся в двух других вершинах треугольника, будут также в равновесии. На заряд Q₀, помещённый в центр треугольника, действуют три одинаковых силы, направленных под углом 2α (см. рисунок) и равные по величине. Равнодействующая этих трёх сил равна нулю, поэтому заряд Q₀ также будет находиться в равновесии.

Ответ: Q₀=1,73нКл.

Пример 4. Расстояние ℓ между двумя точечными зарядами Q₁=2нКл и Q₂=-3нКл, расположенными в вакууме, равно 20см. Определите напряжённость Е в точке А, удалённой от первого заряда на расстояние r₁=15см и от второго заряда на r₂=10см.

Дано: ℓ=20см=0,2м, Q₁=2нКл=2∙10^-9Кл, Q₂=-3нКл=-3∙10^-9Кл; r₁=15см=0,15м, r₂=10см=0,1м

Найти: Е.

Решение. Согласно принципу суперпозиции,

(направления векторов показаны на рисунке). Напряжённости электрического поля, создаваемые в вакууме зарядами Q₁ и Q₂,

(1)

Модуль вектора находится по теореме косинусов:

(2)

где

Подставив (1) в формулу (2), найдём искомую напряжённость в точке А:

Ответ: Е=3кВ/м

Пример 5. Тонкое проволочное кольцо радиусом R=4см равномерно заряжено с линейной плотностью τ = 1нКл/м. Определите напряжённость Е электростатического поля в вакууме на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удалённой на расстояние r=6см от центра кольца.

Дано: τ = 1нКл/м=1∙10^-9Кл/м; R=4см=4∙10^-2м; r = 6см = 6∙10^-2м

Найти: Е.

Решение. Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы dℓ. Заряд такого элемента

dQ= τ∙dℓ

и этот элемент создаёт в рассматриваемой точке электростатическое поле напряженностью

,

где τ – линейная плотность заряда; а – расстояние от элемента dℓ кольца до точки А, где следует определить напряжённость поля. Вектор направлен вдоль линииа.

Для определения напряжённости электростатического поля в данной точке А следует геометрически сложить от всех элементов кольца. Векторразложим на два компонента:и(см.рисунок). Геометрическая сумма всехбудет равна нулю (от каждых двух диаметрально противоположных элементов кольца равна и противонаправлены). Тогда

(учли, что ).

Вектор направлен вдоль оси кольца, как показано на рисунке.

Ответ: Е=136В/м

Пример 6. Электростатическое поле создаётся в вакууме бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью σ=1мкКл/м². На некотором расстоянии от плоскости находится плоская круглая площадка радиусом r=10см. Определите поток вектора напряжённости сквозь эту площадку, если её плоскость составляет с линиями напряжённости угол β=30º.

Дано: σ=1мкКл/м²=1∙10^-6Кл/м²; r=10см=1∙10^-2м; β=30º.

Найти: Ф_Е.

Решение. Поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, однородно, и напряжённость электростатического поля

(1)

где σ – поверхностная плотность заряда; ε₀- электрическая постоянная.

Поток вектора напряжённости

,

где E_n=Ecosα (см.рисунок) – проекция вектора на нормальк поверхности площадкиdS. Интегрирование производится по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряжённости. Следовательно, поток сквозь площадку

Ф_Е=EScosα (2)

Из рисунка следует, что . Тогда формула (2) запишется в виде Ф_Е=ESsinβ (3)

Подставив в формулу (3) выражение (1) и учитывая, что S=πr², получим искомый поток вектора напряжённости

Ответ: Ф_Е=887 В∙м

Пример 7. Электростатическое поле создаётся шаром радиусом R, равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ. Определите напряжённость Е электростатического поля в вакууме: 1) на расстоянии r >R от центра шара; 2) на расстоянии r' <R от центра шара. Постойте график зависимости Е(r).

Дано: R; ρ; 1) r >R; 2) r' <R

Найти: Е; E(r).

Решение. Поскольку заряд равномерно распределён по шару, поле является центрально-симметричным, т.е. направление вектора в любой точке проходит через центр шара (рис.а), а напряжённость есть функция расстояния r от центра шара. При такой конфигурации поля в качестве произвольной замкнутой поверхности следует выбирать концентрическую сферу. Для всех точек этой поверхности E_n=E(r)=const.

Согласно теореме Гаусса для поля в вакууме, поток вектора напряжённости электростатического поля

где Q – общий заряд, охватываемый произвольной поверхностью S.

1. r >R. В качестве замкнутой поверхности постоим сферу радиусом r (см. рис.а), имеющую общий центр с заряженным шаром. В данном случае внутрь поверхности попадает весь заряд, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса,

,

где Q – общий заряд шара в объёме V ( ), откуда искомая напряжённость

(r ≥ R)

2. r' < R. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим сферу радиусом r' (см. рис. а). Эта сфера охватывает заряд Поэтому, согласно теореме Гаусса,

,

откуда искомая напряжённость

(r' ≤ R).

График зависимости Е(r) представлен на рис.б. Внутри равномерно заряженного шара напряжённость линейно растёт с увеличением расстояния r' от его центра, вне шара напряжённость изменяется по закону . Если r=R (r' =R ), то .

Ответ: 1) (r ≥ R); 2) (r' ≤ R).

.