§ 12.13 Энергия электростатического поля. Объёмная плотность энергии электростатического поля

• Энергия неподвижных точечных зарядов

Пусть два заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим

П₁=W₁=q₁φ₁₂ П₂=W₂=q₂φ₂₁

(φ₁₂ и φ₂₁ – соответственно потенциалы поля заряда q₂ в точке нахождения заряда q₁ и заряда q₁ в точке нахождения заряда q₂).

Согласно определению потенциала точечного заряда

Следовательно.

или

Таким образом,

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(12.59)

(φ_і- потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q_i ) в точке, в которой находится заряд q_i).

• Энергия уединённого заряженного проводника

Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

δA= φdq

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на

dφ, тогда

dq = C dφ

(С – электроёмкость проводника).

Следовательно,

δA= Cφdφ

т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на

dП = dW =δA= Cφdφ

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:

(12.60)

Применяя соотношение , получаем следующие выражения для потенциальной энергии:

(12.61)

(q - заряд проводника).

• Энергия заряженного конденсатора

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

(12.62)

(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.

Сучётом того, что Δφ=φ₁ –φ₂ = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу

(12.63)

Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.

Для однородного поля объёмная плотность энергии

(12.64)

Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,

Но ,тогда

(12.65)

Или

(12.66)

( Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε ₀E - электрическое смещение поля).

Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.

Следует отметить, что выражение исправедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношениеp= ε ₀χE.

Выражение соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.