11.3 Алгоритмы накопления суммы и произведения
Применяются, когда требуется сложить или перемножить выбранные данные. В общем виде эти широко применяемые алгоритмы можно описать так:
для подсчета каждой суммы или произведения описать по одной переменной того же типа, что суммируемые или перемножаемые данные;
до цикла переменной-сумме присвоить начальное значение 0, а произведению – значение1;
в теле цикла, если очередной элемент данных t отвечает условию суммирования или перемножения, сумма накапливается оператором видаs:=s+t;, а произведение – оператором видаp:=p*t;
Очевидно, почему начальное значение произведения – единица, а не ноль. После оператора p:=0;операторp:=p*t;, расположенный в теле цикла, будет возвращать только нули.
Пр. Для функции
,
найти арифметическое среднее ее
положительных значений и произведение
ненулевых значений.
Для поиска арифметического среднего необходимо сначала найти сумму sи количествоkположительных значений функции. Составим следующую программу:
var x,f,s,p:real;
k:integer;
begin
s:=0;
k:=0;
p:=1;
x:=-5;
while x<=5+1e-6 do begin
if x<0 then f:=sqr(ln(abs(x)))
else if x>0 then f:=sin(sqr(x))
else f:=0;
if f>0 then begin
s:=s+f;
k:=k+1;
end;
if f<>0 then p:=p*f;
x:=x+0.5;
end;
s:=s/k; {теперь в s - искомое среднее}
writeln ('Среднее положительных =',s:10:6);
writeln ('Произведение ненулевых=',p:10:6);
reset (input); readln;
end.
Пр. Написать программу, имитирующую работу кассового аппарата: пользователь в цикле вводит цену очередного товара или 0 для завершения ввода, программа суммирует цены. По завершении цикла ввода программа начисляет скидку с общей стоимости товара по правилу:
скидки нет, если общая стоимость < 10000 руб.;
скидка = 5%, если общая стоимость - от 10000 до 20000 руб.;
скидка = 7%, если общая стоимость - свыше 20000 руб.
После начисления скидки выводится окончательная стоимость покупки.
Обозначив общую стоимость покупки s, а цену очередного товара –t, напишем следующую программу:
var s,t:real;
begin
writeln;
s:=0; {начальное значение суммы!}
repeat
writeln ('Введите стоимость товара или 0 для завершения ввода:');
{$I-}read(t);{$I+}
if (IoResult<>0) or (t<0) then begin
writeln ('Ошибка! Повторите ввод');
continue;
end;
if t=0 then break;
{Округляем t до 2 знаков после запятой - на случай, если есть копейки}
t:=Round (t*100) / 100;
s:=s+t; {накопление суммы!}
until false;
{Начисление скидки и вывод ответа}
writeln ('Стоимость без скидки:',s:8:2);
if s>20000 then s:=s-s*0.07
else if s>10000 then s:=s-s*0.05;
writeln ('Стоимость со скидкой:',s:8:2);
writeln ('Спасибо за покупку!');
reset (input); readln;
end.
Тип данных realвыбран для sиtне случайно – выборintegerограничил бы диапазон обрабатываемых значений и не позволил в удобном виде ввести копейки. Проверки корректности ввода, делаемые программой, знакомы по предыдущим примерам и поэтому не закомментированы.
12. Типовые алгоритмы поиска максимума и минимума
В этой главе мы изучим простейшие статистические алгоритмы, главный из которых – определение максимального и минимального значения на множестве данных.
Рассмотрим алгоритм в общем виде:
описать для каждого максимума и минимума по одной переменной того же типа, что анализируемые данные;
до цикла максимуму присваивается либо заведомо малоедля анализируемых данных значение, либо первый элемент данных; минимуму присваивается либозаведомо большоедля анализируемых данных значение, либо первый элемент данных;
в теле цикла каждый подходящий для поиска элемент данных tобрабатывается операторами вида:if t>max then max:=t; - для максимума;if t<min then min:=t;- для минимума, где max и min – переменные для максимума и минимума соответственно.
Шаг 2 этого алгоритма требует комментариев, которые мы сделаем на примере поиска максимума. Очевидно, что сам алгоритм несложен – каждый элемент данных tпоследовательно сравнивается с ячейкой памятиmaxи, если обнаружено значениеt, большее текущего значенияmax, оно заносится вmaxоператоромmax:=t;. Как мы помним, после описания на шаге 1 переменнойmax, ее значение еще не определено, и может оказаться любым – откуда следует необходимость задания начального значения. Представим, что после выбора начального значенияmax, равного нулю, при анализе встретились только отрицательные значения элементовt. В этом случае условиеt>maxне выполнится ни разу и ответом будетmax, равное нулю, что неправильно! Выборзаведомо малогоначального значенияmax(например, значение-1E30, т.е. -1030, вряд ли встретится в любых реальных данных) гарантирует, что условиеt>maxвыполнится хотя бы раз и максимум будет найден. Альтернативный способ – присвоитьmaxзначение отдельно вычисленного первого элемента последовательности данных. В этом случае ответ либо уже найден, если первый элемент и есть максимальный, либо будет найден в цикле.
Аналогичные рассуждения помогают понять, почему минимуму следует присваивать в качестве начального значения заведомо большоечисло.
Перейдем к примерам.
Пр. Для функцииy(x)=sin2(x),
найти минимальное среди положительных
и максимальное значения.
Обозначив искомые значения min иmaxсоответственно, составим следующую программу:
var x,y,max,min:real;
begin
x:=-pi/3;
max:=-2;
min:=2; {эти начальные значения - заведомо малое и большое для синуса}
while x<=pi/3+1e-6 do begin
y:=sqr(sin(x));
if y>0 then {ищем min только среди положительных!}
if y<min then min:=y;
if y>max then max:=y;
x:=x+pi/24;
end;
writeln ('Минимум =',min:8:2);
writeln ('Максимум=',max:8:2);
reset (input); readln;
end.
В следующем примере дополнительно сохраним значения аргументов функции, для которых найдены минимум и максимум.
Пр. ПоследовательностьT(k) задана соотношениямиT(k)=max(sink,cosk),k=1,2,…,31. Найти номера максимального и минимального элементов последовательности.
Поиск номеровне избавит нас от необходимости поисказначений. Поэтому, кроме переменныхminиmax, нам понадобятся две целочисленные переменные для хранения номеров минимального и максимального значений, обозначим ихkminиkmaxсоответственно. Обратите также внимание, что на каждом шаге цикла дополнительно потребуется находить максимальное из значенийsin(k) иcos(k), для занесения его вt.
var t,max,min:real;
k,kmin,kmax:integer;
begin
min:=1e30; {не определяя заведомо большого и малого для этих данных значений,}
max:=-1e30;{задаем "надежные" значения, близкие к плюс и минус бесконечности}
for k:=1 to 31 do begin
if sin(k)>cos(k) then t:=sin(k)
else t:=cos(k);
if t<min then begin
{по условию нужны 2 оператора - сохранение нового мин. значения}
{и сохранение номера элемента, отсюда операторные скобки!}
min:=t; kmin:=k;
end;
if t>max then begin
max:=t; kmax:=k;
end;
end;
writeln ('Номер мин. элемента =',kmin);
writeln ('Номер макс. элемента=',kmax);
reset (input); readln;
end.