Второй уровень

[648] Вычислите, используя интегралы, площадь криволинейной фигуры, ограниченной параболами у=ах²+bх+с и y=nx²+mx+d.

Тесты и результаты.

1) y=x²-2x+2, у=-x²+4x+2. S=9. 2) у=-х² +2х+8, у=х² -2х+3. S=21.(3).

3) у=-х² +2х+3, у= х² -2х+3. S=2.(6).

[649] Решите неравенство (х-х1)ⁿ¹ *(x-x2)ⁿ² * ...* (x-xk)^nk >=0 ме­тодом интервалов.

Тесты и результаты.

1) (х+1)³ *(х-2)⁴ *(х-5)⁸ >=0. (-, -1][5;+ ).

2) (х+3)³ *(х+1)⁶ *(х-4)⁴ *(х-8)⁵ *(x-9)³ >=0. (-, -3][8; 9].

[650] Решите уравнение: m(ах² +bx+c)²+n(ax² +bx+c)+d=0.

Тест и результат.

(х² -5x+2)²+6(x²-5x+2)+8=0. х1=1, х2=2, х3=3, х4=4.

[651] Дана арифметическая прогрессия с первым членом 11 и разностью 10. Из n первых членов прогрессии необходимо выбрать все простые числа.

Тесты и результаты.

n=15. 11 ; 31; 41: 61; 71; 101; 131; 151.

[652] При а>0 исследуйте функцию у= ах² +bх+с на отрезке [m; n] по следующему плану, определяя: 1) интервал возрастания функции; 2) интервал убывания функции; 3) нули функции.

Тесты и результаты.

1) а=1, b= -8, с=15, m=2, n=9. Возрастает на отрезке [4; 9], убывает на отрезке [2; 4], нули функции: х=3 и х=5.

2) а=1, b= -6, с=5, m= -1, n=8. Возрастает на отрезке [3; 8], убывает на отрезке [-1; 3], нули функции: x=3 и х=5.

3) а=1, b=-4, с=3, m=2.5, n=7. Возрастает на отрезке [2.5; 7], нуль функции на отрезке [2.5; 7]: х=3.

[653] При а<0 исследуйте функцию у= ах² +bх+с на отрезке [m; n) по следующему плану, определяя: 1) интервал возрастания функции; 2) интервал убывания функции; 3) нули функции.

[654] Найдите нули и интервалы знакопостоянства функции: у= ах² +bх+с.

[655] Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=ах³ +bх+с на отрезке [m; n].

Тест и результат.

у=х² -2х+2 на отрезке [0; 2]. Наибольшее 2 и наименьшее 1.

[656] Определите, пересекаются ли графики двух квадратичных функций, заданных своими уравнениями на плоскости. Найдите ко­ординаты точек пересечения.

Тесты и результаты.

1) у= 2x²+6x+8. у= х² +5х+1. Не пересекаются. 2) у= 2x^4x+3. у= х² +2х+2. М(-1; 1).

3) у= 2x²-2x+5. у= х²+2х+2. М(1; 5); К(3; 17). 4) у= 2х² +х+11. у= х² +8х+1. М(2; 21); К(5; 66).

[657] Найдите Е(у) - множество значений функции у= ах² +bх+с.

Тесты и результаты.

а=1, b= -8, с=15. Е(у)=[-1; +).

[658] Найдите точки пересечения графика линейной функции у=-kх+b и графика квадратного трехчлена у= х² +px+q, корни которо­го равны х1 и х2.

Тесты и результаты.

у=х+3, х1=1, х2=3. y =x²-4x+3, M(0; 3), K(5; 8).

[659] Корни квадратного трехчлена у=х²+px+q равны х1 и х2, а корни квадратного трехчлена у=-х²+bх+с равны х3 и х4. Найдите точки пересечения графиков данных квадратных трехчленов.

Тесты и результаты.

х1=3, х2=5, х3=1, х4=5. у = х² - 8x+15, у =-х² +6х-5, М(0; 3), K(5; 8).

[660] Составьте уравнение третьей степени х³ +ax²+bx²+c=0, зная три его целых корня: х1, х2, х3.

Тесты и результаты.

1) х1= -3, х2=1, х3=3. Х³-х²-9х+9=0.

2) х1 = 2, х2=1, х3=5. Х³ –10x² +31х-30=0.

[661] Даны три точки: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3). Постройте три попарно касающиеся окружности, центрами которых являются данные точки.

[662] Рассмотрите значения функции y=sin(2x)/x на отрезке [-3; 3] с шагом h=0.12. Найдите сумму положительных и число от­рицательных значений функций.

[663] Дан треугольник АВС: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3). По­стройте треугольник АВС. Найдите центр и радиус описанной ок­ружности. Постройте её.

[664] Найдите центр и радиус окружности, вписанной в тре­угольник АВС. Постройте треугольник и окружность.

[665] Даны N точек на координатной плоскости. Найдите среди них все такие четверки точек, чтобы они были вершинами паралле­лограмма.

[666] Постройте на экране монитора графики следующих функций:

,

[667] Дан многочлен от нескольких переменных в стандартной форме. Составьте программу, позволяющую ввести его с клавиату­ры и вычислить при любом значении аргумента.

[668] Найдите наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции у= ах² +bх+с на заданном отрезке [m; n].

Тест. а=1, b= -2, с=2, m=0, n=2.

Результат. Наименьшее значение равно f(1)=1; наибольшее значение равно f(0)=f(2) =2.

[669] Выясните, пересекаются ли графики двух квадратичных функций у=а₁х2 +b₁х+с₁, y=a₂x²+b₂x+c₂, заданных своими уравне­ниями на плоскости. Найдите координаты точек пересечения, если они есть.

Тесты и результаты.

1) у=х²-4х+3, y=x²-5x+4. x=1, y=0.

2) у=х²-4х+3, y=x²-4x+4. Графики не пересекаются.

[670] Решите систему уравнений:

Тесты и результаты.

1) а=1, b=0, с= -1, k=1, m=1. (-1: 0), (2; 3).

2) a=4, b=0, c=1, k=0, m=1. (1; 0).

[671] Решите систему уравнений:

[672] Решите систему уравнений:

[673] Выясните, в одной ли полуплоскости относительно прямой, данной своим уравнением у=ах+b, расположены точки S(x1; y1) и K(х2;у2).

[674] Решите систему трех линейных уравнений с тремя неиз­вестными, используя метод последовательного исключения неиз­вестных (метод Гаусса).

[675] Решите квадратное уравнение: х² +px+q=0, где р и q - чле­ны арифметической прогрессии с первым членом а1 и разностью d, имеющими соответственно номера k и m. При этом а1 и d - соответ­ственно наименьший и наибольший элементы данного одномерного массива A(N), заполненного целыми числами.

Тесты и результаты.

N=10, k=5, m=164.Массив: -32; -9; -46; 1; 2; 0; -23; -7; -12; -20. a1= -46, d=2, р= -38, q=280, x1=10, x2=28.

[676] Дана функция у=х³ +ах² +bх+c, принимающая неотрица­тельные значения на отрезке [m; n]. Найдите площадь криволиней­ной трапеции, ограниченной графиком данной функции и прямыми: x=m, x=n, y=0.