1) ; 2); 3);

4) ; 5);

Можно ли из соответствующих систем функций получить следующие функции , и если “да”, то напишите определяющее выражение:

6) из системы функций получить функцию ;

7) из системы функций

получить функцию 0 ;

8) из системы функций получить функции ;

9) из системы функций

получить функции

;

10) из системы функций получить функции ;

1.7 Предполные классы двоичных функций.

Определение:

Предполным классом К называется неполный класс, при добавлении любой функции, которая не принадлежит ему, получается класс полный.

Утверждение:

Предполный класс является замкнутым.

Доказательство: Допустим противное, что некоторый предполный класс К не замкнут: , тогда рассмотрим функцию

т.е. [ K,f ] не полный

Теорема:

В классе булевых функций есть ровно пять предполных классов :.

Доказательство :

В начале покажем, что данные классы являются предполными, а затем покажем, что других предполных классов нет.

1. Рассмотрим .

Данный класс содержит функции:

поэтому класс Т₀ не принадлехит классам Т₁, S, М, L.

Рассмотрим произвольную , тогдане принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательно классявляется предполным.

2) Рассмотрим Т₁:

Рассмотрим произвольную не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста является полной, следовательнопредполный.

3) Рассмотрим S:

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов Поста, следовательно по теореме Поста является полной, следовательнопредполный .

4) Рассмотрим :

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательнопредполный.

5) Рассмотрим L:

Рассмотрим не принадлежит ни одному из пяти классов, следовательно по теореме Поста система полна, следовательнопредполная. Все перечисленные классы не полны по теореме Поста.

Покажем, что других предполных классов в нет.

Допустим противное, что - предполный :

, следовательно в данном классе :

РИС.1

в силу того, что класс - предполный, следовательно включение на рис.1 невозможно, т.к. если бы было наоборот, то рассмотрим, мы бы получили, что все функции системысохраняют 0, поэтому полной системане является, следовательноне является предполным.

По этой же причине в классе должна быть,, должна быть, должна быть, должна быть, следовательно из этих включений следует, что системаявляется полной, противоречие с предполнотой этой системы.

Упражнения:

Найдите определяющие выражения функций через суперпозиции функций системы.

1)

2)

3)

4)

5)

Определение:

Полной системой бул. функций в замкнутом классе К является система функций, которая принадлежит данному классу, и замыкание которой совпадает с самим классом

.

Определение:

Базисом в замкнутом классе К называют систему В, которая полна в этом классе, но любая собственная подсистема полной в классе не является.

Пример 1: Рассмотрим множество всех булевых функций Р₂. В этом множестве рассмотрим систему .Эта система полна по т. Поста .

Чтобы определить,что все собственные подсистемы не полны, достаточно рассмотреть лишь максимальные по включению собственные подсистемы данной, получаемые из данной удалением какой-либо функции.

Если ни одна из этих подсистем не является полной, то полной не является и любая другая собственная подсистема (докажите предыдущие утвеждения)

В данном примере максимальные собственные подсистемы не полны, значит является базисом вР₂.

Пример 2: Является ли система базисом вР₂?

, поэтому система полна, но собственная подсистематакже полна, поэтому данная система не базис вР₂.

Определение:

Скажем, что функция f не зависима от системы , если эта функция не принадлежит замыканию системы :.

Пример 1: Рассмотрим функцию и систему:

Утверждаем, что не зависит от этой системы. Действительно, все функции системы являются линейными, поэтому в силу того, что суперпозиция линейных функций есть линейная функция, замыкание этой системы принадлежит классу линейных функций, а— функция не линейная. Поэтомуне зависит от данной системы функций.

Пример 2: Рассмотрим функцию и систему:

x₁ x₂

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

Значит, зависима от функции.

Примечание: если функция не является независимой от системы, то будем называть ее зависимой от данной системы.

Утверждение:

Если система функций базис в замкнутом классе К , то тогда каждая функция базиса независима от оставшихся.

Доказательство:

Предположим противное: пусть существует базис в котором некоторая функция является зависимой от оставшихся. Для определенности будем считать, что этопоэтому выражается через некоторые суперпозиции функций системы , но тогда систематакже является полной в классеК, поэтому не является базисом. Утверждение доказано.

Пример 1:

базис в Р₂

Упражнение: Докажите справедливость обратного утверждения: пусть полная система в К, и любая функция системы не зависит от оставшихся, тогда система – базис в К.

Полные системы в основных классах двоичных функций.

Утверждение 1:

Полной системой в классе Т₀ является система

Доказательство:

Обе функции принадлежат Т₀. Осталось показать, что , то есть любуюможно представить суперпозицией функций

Рассмотрим и полином ЖегалкинаТогда свободное слагаемое данного полинома равно 0 в силу того, что.Поэтому данный полином есть суперпозиция только. Это и есть требуемая суперпозиция.

Утвеждение 2:

В классе Т₁ полной является система .

Доказательство:

Рассмотрим . Покажем, что ее можно получить суперпозицией. В дальнейшем потребуются функции:

Рассмотрим функции (k+1 – число наборов, на которыхf равна единице), которые получаются из по правилу:

для каждой функции оставляем соответствующий единичный набор, а на остальных (кроме 1…1) приравниваем к нулю.

Например:

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

В результате дополнительных функций будет столько, сколько единичных наборов без последнего. Очевидно

Поэтому, чтобы найти представление функциичерездостаточно найти представление каждой из добавочных функций через

Если f имеет один единичный набор, то это есть элементарная конъюнкция переменных без отрицания. В противном случае рассмотрим дополнительную функцию f_i . Не теряя общности будем считать, что соответствующий единичный набор имеет вид: . Тогда справедливо:

Например: f₁ равна 1 на наборах 010 и 111, поэтому

Утверждение 3:

В классе S полной является система

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

Все функции в данной системе являются самодвойственными. В дальнейшем потребуется - это самодвойственная фукция от 3-ех переменных, которая совпадает с логическим сложением на тех наборах, где первая переменная равна нулю (тогда на остальных наборах функция однозначно доопределяется по самодвойственности).

Самодвойственных функций, существенно зависящих от двух переменных нет:

0 0 01 0 1 1 0

0 1 01 0 1 0 1

1 0 10 1 0 1 0

1 1 10 1 0 0 1

Функции, не имеющие существенных переменных – константы, т.е. не самодвойственные функции от одной переменной есть .

коммутативные операции, относительно второй и третьей переменных при фиксированной первой:

и ассоциативны относительно второй и третьей переменных при фиксированной первой:

Будем обозначать:

Из этих двух свойств следует что значение выражения, в котором присутствуют символы не зависят от порядка расположения скобок в нем и расположения множителей.

Например:

Выражение, в котором присутствует символ на наборах, в которыхравно 1, тогда и только тогда, когда все переменные выражения равны 1:=0 и

Значение выражения, в котором присутствует не зависит от расположения скобок и это выражение на наборах в которыхравно 1, когда хотя бы одна из переменных равна 1.

Утверждение:

Например:

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Доказательство:

Рассуждения в этом случае аналогичны случаю представления функции в виде СДНФ.Формальное доказательство следующее.

Заметим, что данное равенство достаточно показать только на первой половине наборов, где , тогда на оставшихся наборах равенство будет справедливо в силу самодвойственности функции в левой части и функции в правой части, как суперпозиция самодвойственных.

Рассмотрим набор

Покажем, что значение правой части на данных наборах равен 1 соответственно 0.

1) Рассмотрим слагаемые правой части, которые соответствуют набору .

Значение данного слагаемого на наборе равно, т.к. значение степени и основания совпадают, каждый множитель этого слагаемого равно 1, поэтому и все произведение равно1.

А поэтому значение всей дизъюнкции равно 1, т.к. существует слагаемое, равное 1.

2) . Рассмотрим произвольное слагаемое в правой части. Пусть оно соответствует единичному наборутогда наборыиразличны, поэтому, тогдаi-ый множитель на наборе будет равен 0, таким образом все слагаемые равны 0. Тогда значение всей правой части равно 0 на наборе. Утверждение доказано.

4) В классе монотонных функций полной является система .

Определение:

Нижней единицей монотонной функции называют набор значений переменных этой функции, на котором и для любого набора

Пример:

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

набор 001 для монотонной функции является нижней единицей набор 110 тоже нижняя единица функции.

Утверждение:

Пусть для монотонной функции :,. Тогда справедливо представление:

Иначе говоря, для каждой нижней единицы записывается конъюнкция переменных, которые равны 1 в данном наборе, затем берем логическую сумму полученных слагаемых.

В данном примере разложение следующее:

Доказательство:

1) тогда рассматриваем тот нижний набор, который меньше либо равен чем рассматриваемый, тогда в силу того, чтов тех местах, где в наборестоит 1, втакже должна стоять 1.

Поэтому слагаемое, соответствующее набору равно 1 на наборе, а поэтому и вся дизъюнкция равна 1.

2)

Рассмотрим произвольное слагаемое, которое соответствует нижней единице , на набореи покажем, что значение этого слагаемого равно 0 на наборе. Допустим противное,, что соответствующее слагаемое на набореравно 1.Тогда в тех местах , где в наборестоит 1 в наборетакже стоит 1, то есть. Но в силу того, чтополучаем противоречие, т.к. значение, в то время как

5) В классе L полной системой является следующая .

Доказательство:

а это и есть все линейные функции.

Базисы в классах T₀ , T₁, S, M, L