1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.

Функции сохраняющие ноль -T₀ и функции

сохраняющие единицу- T₁ .

T_{0 :} T_1:

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

T₀ , T₁

Самодвойственные функции S .

Определение: называетсясамодвойственной, если совпадает с двойственной к ней функцией.

.

Очевидно эквивалентное определение самодвойственной функции:

Определение:S, если принимает противоположные значения на противоположных наборах.

x1	x2	x3	f(x1x2x3) S
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Пример:

S S

S S

S S

S S

Монотонные функции M .

Определение: набор , если;

Например:

наборы 0101 и 1001 не сравнимы.

Определение: M, если :

.

y

X1 x2 X

x1	x2	x3	f(x1x2x3) M
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Метод определения монотонности функции f :

Рассматриваем все наборы, на которых значение . Для этих наборов рассматриваем наборы большие, и если среди больших наборов нет нуля функции, тогда функция монотонна. В противном случае она не монотонная. Корректность этого метода следует непосредственно из определения монотонной функции.

x1	x2	x3	f(x1x2x3) M
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Для данной функции для единицы 001 большие наборы есть 101, 011, 111. Среди них есть ноль, набор 011. Поэтому функция немонотонная.

M M

M M

M M

M M

Линейные функции L .

Определение: линейные функции – функции, степень полинома Жегалкина которых не больше единицы .

Определение: степенью полинома Жегалкина называется максимальное число переменных в слагаемых этого полинома.

Степень равна 3.

Степень равна 1.

Степень 1 равна 0 ; степень 0 равна 0.

x1	x2	x3
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0
1	1	0	0	1
1	1	1	0	1

Методы определения линейности функции f :

1.Способ Находим полином Жегалкина функции f и определяем его степень. Если степень , то функция линейная. В противном случае функция нелинейная.

2. Способ. Определяем существенные переменные функции f и рассматриваем две возможные линейные функции : сумма найденных существенных переменных и сумма существенных переменных плюс 1. Если исходная функция совпадает с одной из данных двух, то функция линейна. В противном случае функция нелинейная.

Корректность данного метода следует из факта, что у линейной функциивсе переменные существенные и других существенных нет.

1) x₁  существенная (по 1-ому и 5- ому) ,x₂  существенная (по 3- ему и по 1-ому набору), x₃ не существенная . Если функция линейная, то она имеет вид либо x₁+x₂, либо x₁+x₂+1; подходит первое выражение, поэтому первая функция линейная.

0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

вторая функция нелинейная

2) x₁  существенная (по 4-ому и 8-ому),x₂ существенная (по 6-ому и 8-ому), x₃ не существенная :

0	0	0	1	0
0	1	1	0	0
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1

вторая функция нелинейная

Утверждение: все перечисленные пять классов являются замкнутыми, то есть суперпозиция любых двух функций из каждого класса является функцией тогоже класса.

Доказательство :

1) T₀

Рассмотрим T₀

T₀

Рассмотрим суперпозицию

и покажем, что полученная T₀. Для этого найдем значение на нулевом наборе :

2) T₁

Рассмотрим T₁

T₁

Рассмотрим :

3) S

Рассмотрим S

S

Рассмотрим :

4) М

Рассмотрим М

М

Рассмотрим суперпозицию

: и

рассмотрим произвольную пару сравнимых наборов и:и покажем, что выполнено :.

Нетрудно видеть, что из того, что следует, чтои.

В силу того, что :

5) L

Рассмотрим L

L

, где α и β  некоторые константы.

Рассмотрим .

.

Используя ассоциативность и коммутативность операции , преобразуем к виду :

.

Степень не превосходит 1, следовательноL.

Замечание Приведенные выше рассуждения будут справедливы, если множества переменных подставляемых функций пересекаются.

Упражнение Покажите, что переименование переменных не выводит функции из классов

.

1.6 Критерий полноты в класее двоичных функций относительно суперпозиций функций.

Для того, чтобы система была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из пяти классов:T₀, T₁ , S, M, L.

Проблема полноты : по заданной системе функции ответить на вопрос, является ли эта система полной, т.е. можно ли с помошью всевозможных суперпозиций данных функций получить любую булевую функцию.

Проверим вначале критерий Поста на известных примерах, а затем докажем его справедливость в общем случае.

Пример: .

По теореме о представлении любой булевой функции в виде СДНФ данная система полна. И в тоже время система не содержится ни в одном из классов T₀, T₁ , S, M, L, поэтому критерий Поста справедлив для данной системы.

Пример:

Полнота данной системы следует из теоремы о представлении любой булевой функции в виде полинома Жегалкина, и вновь критерий Поста справедлив для данной системы, т.к. система не принадлежит ни одному из пяти классов.

Пример:  не полная, так как

и критерий Поста справедлив для данной системы, т.к. L.

Доказательство:

Необходимость : пусть система K полна.

Покажем, что она не принадлежит ни одному из пяти классов. Допустим противное : система принадлежит одному из пяти классов. Пусть KT₀ .Т.е. все функции K сохраняют 0. Но тогда и любая суперпозиция функций из K будет сохранять 0. Но тогда [K] , и K  неполная. Пусть K T₁, тогда любая суперпозиция из K сохраняет 1, тогда [K]. Пусть KS, тогда суперпозиция любых функций будет самодвовойственна, тогда [K].

Пусть KM, тогда [K]. Пусть KL, тогда [K]. Получаем противоречие (система не является полной, в силу замкнутости классов T₀, T₁, S, M, L относительно суперпозиций).

Достаточность : пусть система K не содержится ни в одном из пяти классов, т.е.

Построим заведомо полную систему .