
- •Введение………………………………………………………………………………………..1
- •1.Элементы функциональной полноты в классе двоичных функций.
- •1.1 Основные двоичные функции и их своства. Булевой функцией f(x1 … xn) называют функцию, аргументы которой принимают значения из множества , и значение функции также из множества {0;1}.
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •1.2 Утверждение о числе функций от n переменных.
- •1.3 Представление функции в виде совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной формах. Разложение функции по начальному множеству переменных.
- •1.4 Утверждение о представлении двоичной функции в виде полинома Жегалкина .
- •1.5 Основные замкнутые классы двоичных функций относительно суперпозиций функций.
- •X1 x2 X
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •1); 2); 3); 4).
- •1) ; 2); 3);
- •4) ; 5);
- •1.7 Предполные классы двоичных функций.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •2 .Минимизация днф заданной функции.
- •2.1 Геометрическая интерпретация двоичных функций.
- •2.2 Утверждение о максимальных интервалах и тупиковых покрытиях.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •2.3 Метод поиска всех максимальных интервалов заданной функции с помощью операции склеивания и сокращения.
- •2.4 Метод нахождения всех тупиковых покрытий максимальными интервалами.
- •Достаточно ясна связь задачи нахождения тупиковых покрытий и минимизации функции покрытия.
- •2.5 Метод построения сокращённой д.Н.Ф. С помощью обобщенного склеивания
- •3. Элементы математической логики. Исчисление высказываний, его полнота.
- •Семь теорем.
- •2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •4 Графы
- •4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •4.2 Азбука теории графов. Маршрут, путь, простой путь. Цикл. Простой цикл. Связность в графе.
- •Связные графы
- •4.3 Методы анализа графа. Поиск в ширину. Нахождение кратчайших путей в графе.
- •4.4 Поиск в глубину. Нахождение остовного дерева с помощью поиска в глубину.
- •4.5 Укладки графов. Планарные графы.
- •Теорема Эйлера
- •4.6 Критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
- •4.7 Хроматическое число графа.
- •5 Элементы комбинаторики.
- •5.1 Упорядоченные наборы с повторением и без повторений.
- •5.2 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •5.3 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •5.4 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •5.5 Основы метода производящих функций.
- •1324 0100.
- •5.6 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •6 Основы схем из функциональных элементов. Проблема минимизации
- •6.1 Сложность мультиплексора порядка .
- •1) Мультиплексор порядка
- •6.2 Сложность дешифратора порядка n.
- •2) Дешифратор порядка .
- •6.3 Сложность универсального многополюсника.
- •3) Универсальный многополюсник.
- •6.4 Оценка сложности функций n переменных .
- •7. Элементы теории конечных автоматов.
- •7.1 Ограниченно- детерминированные функции и автоматные языки. Эквивалентность.
- •8. Элементы теории кодирования.
- •Теория кодирования.
- •8.1 Критерий однозначности кодирования.
- •8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.
- •1. Можно ли выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание.
Семь теорем.
2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу а, а вместо а подставим
примем двойное отрицание А за гипотезу, тогда по предположению выводится
Теперь из пунктов 1 и 2 выводится правая часть формулы
(теорема 1)
следовательно по т1 и 3 выводится
по теореме дедукции
3)
Запишем аксиому а3, подставив вместоВ
,
тогда а3=
по 2) и 1 выводится правая часть
принимаем А за гипотезу, тогда по пр.
из пунктов 2, 3 по МР
4)
запишем третью аксиому а3
(пр.)
применяя ТД второй раз получаем
5)
запишем аксиому а3
применяя ТД дважды, получаем требуемую формулу
6)
Запишем предыдущую теорему в виде
гипотеза
Примем
за гипотезу, и выведем из нее посылку
.
Тогда
вывод теоремы непосредственно следует из теоремы дедукции и теоремы 5.
Чтобы
реализовать указанную цель, принимаем
за
гипотезу.
Тогда
2.
,
3
4
из
пунктов 2,3 получаем ,
|-
Тогда цель выполнима по теореме дедукции из предыдущегопункта 4.
7)
запишем а3
запишем 6) в следующем виде:
по МР, следовательно по ТД из
по ТД
8)
запишем а3
покажем предыдущие
, таким образом второй пункт доказан
ТД первый раз
ТД
второй раз
Доказательство полноты исчисления высказываний.
Осталось показать, что всякая тавтология выводима в исчислении высказываний.
Лемма:
Пусть
- формула от переменных
над связками
.
Пусть
набор
значений переменных.
.
Покажем
из гипотез
Здесь
если
;
если
если
;
,
если
Доказательство
индукцией по числу связок в формуле
.
Число
связок равно 0
:
;
Утверждение справедливо.
Пусть
утверждение справедливо для любых
формул
с не более чем
связками
;
.
Покажем
справедливость для F
с i+1
связкой
1.
F1
и F2
– формулы с не более чем i
связками
Рассмотрим
произвольный набор
переменных
.
А)
Пусть
гипотезы соответствующие набору
По индуктивному предположению :
;
;
а1.
(
)
1.
а1.
5.
1. (
)
что
и требовалось
В)
;
;
4.
что и требовалось
С)
1.
;
2.
;
а1.
.
D)
1.
;
2.
;
7.
.
(
что и требовалось
2.
a)
это и естьF’
b)
это и естьF’
Утверждение :
Любая
тавтология
выводима.
Рассмотрим
два произвольных набора значений
переменных
отличающихся последней компонентой.
Пусть
гипотезы которые соответствуют этим
наборам будут
и
,
тогда в силу предыдущей леммы и того,
чтоF
тавтология имеем:
;
;
то:
По
восьмой теореме
имеем
. В силу того что
произвольно, точно так же можно избавиться
от
.
Пока
не избавимся от всех гипотез и придем
к
.
Упражнения:
Доказать:
4 Графы
4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.
Матрица смежности, матрица инцендентностей, список смежности.
Определение.
Неориентированным
графом
называют пару ,
где
– множество вершин графа,
– множество неориентированных
ребер
графа, и последнее множество есть
некоторое подмножество множества всех
неупорядоченных пар вершин
.
Пример.
Пусть
множество вершин состоит из трех
элементов. Следовательно, неупорядоченными
парами будут следующие двухэлементные
подмножества трехэлементного множества
:
Для графов удобно планарное представление, где вершинам графа соответствуют точки плоскости, а неориентированным ребрам соответствуют отрезки, соединяющие соответствующие пары вершин.
Пример.
Ребро, у которого оба конца являются
одной и той же вершиной, называется
петлей. В примере петлей является ребро
.
Определение.
Ориентированным
графом
называют пару ,
где
–
множество вершин графа,
– множество упорядоченных пар вершин
– ориентированных
ребер,
и это есть некоторое подмножество
декартова произведения
:
Пример.
Множество
вершин состоит из трех элементов .
Тогда упорядоченными парами вершин
будут следующие:
Для ориентированных графов удобно планарное представление, где вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам соответствуют ориентированные линии, которые соединяют в определенном направлении соответствующие пары вершин.
Пример.
Ориентированное
ребро, у которого оба конца являются
одной и той же вершиной, называется
петлей. В примере петлей является ребро
.