методические указания ИГ / Аксонометрические изображения (Петрова)

лучить представление о пространственном геометрическом образе, заданном его ортогональными проекциями, приходится одновременно рассматривать две, три, а иногда, и больше проекций, что значительно затрудняет мысленное воспроизведение геометрического тела по его проекциям.

В ряде случаев необходимо наряду с чертежом объекта, выполненном в ортогональных проекциях, иметь его наглядное изображение, состоящее только из одной проекции, полученной способом аксонометрического проецирования.

Аксонометрические изображения позволяют легко представить форму предмета, поэтому нашли широкое применение в науке, технике (пояснения чертежей машин, механизмов, их деталей) и в быту.

Для сравнения наглядности комплексных и аксонометрических проекций на рисунке 1 представлен чертеж параллелепипеда со срезами.

а – три вида, б – аксонометрическая проекция Рисунок 1 – Чертеж параллелепипеда со срезами

СУЩНОСТЬ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

В том случае, когда необходимо одно изображение предмета, которое одновременно обладало бы свойствами обратимости и наглядности, выполняют его аксонометрическую проекцию или аксонометрию. Слово «аксонометрия» в переводе с греческого языка означает «осемерие» т.е. измерение по осям (аксон – ось и метрео – измеряю).

4

Сущность аксонометрического проецирования заключается в том, что данный предмет вместе с системой трех взаимно перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью). При этом ни одна ось не проецируется в точку, а значит, сам предмет будет проецироваться в трех измерениях. Проекция на этой плоско-

сти называется аксонометрической или сокращенно аксонометрией.

На рисунке 2 показана схема проецирования осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость P, принятую за плоскость аксонометрических проекций (картинную). Направление проецирования указано стрелкой s. Проекции осей x, y, z – прямые x′, y′, z′ называются аксонометрическими осями. А′ – аксонометрическая проекция точки А, полученная в результате пересечения проецирующего луча АА′с плоскостью P. Чтобы обеспечить взаимную однозначность между точками пространства и точками картинной плоскости на плоскость P проецируют не только точку А, но и одну из ее ортогональных проекций (обычно горизонтальную проекцию a). Аксонометрическую проекцию a′называют вторичной проекцией точки А.

Рисунок 2 – Схема проецирования на картинную плоскость P

5

На осях x, y, z отложен отрезок е, принимаемый за единицу измерения по этим осям. Отрезки еx, еy, еz на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка е и являются единицами измерения по аксонометрическим осям. В общем случае еx ,еy , еz не равны е и не равны между собой. Отношения u=еx/е, v=ey/e, w=ez/e называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

Очевидно, принимая различное взаимное расположение декартовой системы координат и картинной плоскости и задавая разные направления проецирования, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и коэффициентом искажения вдоль этих осей.

Согласно теореме Польке: «Три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала». На основании этой теоремы аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произволь-

но, сохраняя при этом зависимость

u2 + v2 + w2 = 2 + ctg2φ, (1)

где φ – угол, образованный направлением проецирования с картинной плоскостью.

Если направление проецирования не перпендикулярно к картинной плоскости, то аксонометрическая проекция называется косоугольной; если же перпендикулярно, - то прямоугольной. Если все три показателя искажения между собой не равны, то проекция называется триметрической; если два показателя искажения равны (например, u = w), а третий отличен от них, то проекция называется диметрической; если все три показателя равны (u = v = w), то проекция называется изометрической.

ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

В ГОСТ 2.317-69 стандартизованы прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции с различным расположением осей:

-изометрическая прямоугольнуая;

-диметрическая прямоугольная;

6

-диметрическая косоугольная фронтальная;

-изометрическая косоугольная фронтальная;

-изометрическая косоугольная горизонтальная.

Вид аксонометрии влияет на степень наглядности детали и простоты его выполнения. Изометрию следует применять, когда видимые стороны детали равноценны для изображения. Прямоугольная диметрия предпочтительна в тех случаях, когда наибольшая часть элементов детали, характеризующих ее особенности, сосредоточена на одной из сторон, которую можно расположить параллельно фронтальной плоскости проекций. Фронтальную диметрию применяют, когда целесообразно сохранить неискаженными фигуры (например, круги), находящиеся во фронтальной плоскости проекций, так как на эту плоскость они проецируются в натуральную величину.

Ниже рассмотрены практические вопросы построения аксонометрии фигур, встречающиеся наиболее часто, и в первую очередь окружности.

Известно, что прямоугольной проекцией окружности, расположенной в плоскости Q, составляющей угол ϕ с плоскостью проекций Р, является эллипс (рисунок 3).

Рисунок 3 – Схема проецирования окружности на плоскость Р

7

Большая ось АрВр эллипса – проекция диаметра АВ, параллельного плоскости Р. Из рисунка очевидно, что отрезок АрВр перпендикулярен к проекции СрNр и малая ось DрEр эллипса (проекция диаметра DЕ) совпадает с прямой CрNр.

При выполнении аксонометрических проекций часто приходится строить изображения окружностей, расположенных в координатных плоскостях XY, XZ, YZ или в плоскостях, им параллельных. В этом случае нормалями к плоскости окружностей являются соответственно оси x, y, z. Следовательно, направления больших осей эллипсов, изображающих проекции окружностей, всегда перпендикулярны соответственно к осям xp, yp, zp (т.е. к оси, которой нет в плоскости заданной окружности), а малые совпадают по направлению с этими осями. Большие оси соответствуют тем диаметрам изображаемых окружностей, которые параллельны картинной плоскости.

Изометрия прямоугольная

Прямоугольная изометрия широко применяется в практике технического черчения. Оси x', y', z' образуют друг с другом углы в 120° , а коэффициенты искажения k по всем трем осям одинаковы и равны 0,82. Это следует из соотношения (1).

Для прямоугольной изометрии угол φ = 90°, u = v = w, тогда u2 + v2 + w2 = 2, а значит, 3 k2 = 2, k = √⅔ ≈ 0,82. Однако в соответствии со стандартом изометрическую проекцию выполняют упрощенной, принимая коэффициенты искажения равные единице. При этом изображение получается увеличенным в 1,22 раза.

На рисунок 4,а показан один из способов построения изометрических осей. Приняв за единицу отрезок любой длины, откладывают на горизонтальной прямой от точки О' пять таких единиц, затем вниз по вертикали три единицы. Ось x' (y') проводят через точку О' и полученную точку.

В аксонометрических проекциях штриховку наносят с различными направлениями для каждой плоскости сечения. Для построения направлений линий штриховки в изометрии на осях откладывают принятые за единицу равные отрезки и полученные точки соединяют, как показано на рисунке 4, б.

8