Определители и их свойства.

Квадратной матрице  -го порядка ставиться в соответствие число, называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Замечание

Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.

1.    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется: 

Пример

Известно, что определитель матрицы  равен 3. Тогда определитель матрицы  , которая равна , также равен 3.

2.    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3.    

То есть, если квадратная матрица  -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы  на число  в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы  третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы  .

Решение. По свойству 

Ответ. 

4.    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5.    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6.    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7.    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8.    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9.    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка  . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10.    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11.    Определитель произведения матриц равен произведению определителей: 

Метод Гаусса.

Метод Гаусса является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения линейных систем. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система

где a_ij - коэффициенты при неизвестных (первый индекс указывает номер уравнения, второй- номер неизвестной), b_i - свободные члены. приводится к треугольному виду; на втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной треугольной системы. Пусть в системе (1.7) а ₁₁  не равно 0. Этого можно добиться несколькими способами, в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х₁, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а ₁₁ , т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а ₁₁ =1. Для определенности, выберем неизвестное х₁ так, чтобы коэффициент при нем не был равен 0.

 

Исключим теперь х₁ из остальных уравнений системы. Будем умножать первую строку расширенной матрицы (1.9)(в нашем случае строка имеет вид- 1.10) последовательно на а₂₁, а₃₁,..., а _n 1 и вычитать соответственно из 2-й, 3-й и т.д. строк и, наконец, из последней строки. Преобразованная расширенная матрица будет соответствовать системе уравнений с n неизвестными:

Применяя предложенным метод исключения теперь ко второй, третьей и т.д. строкам, получаем систему вида

Возможны следующие случаи.

1. Одна из строк расширенной матрицы соответствует уравнению вида: 0+0+0+...+0= b'_r . Причем b'_r не равен 0. В этом случае система несовместна.

2. Последнее уравнение системы имеет вид: a' _nn x_n = b'_n

В этом случае получаем единственное решение.