Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения  слева на  (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы  (E– единичная матрица порядка n на n), поэтому   Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений по матричному методу определяется равенством . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу  только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С nНЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений . Решение. В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее. Мы знаем, что для матрицы  обратная матрица может быть найдена как , где  - алгебраические дополнения элементов . В нашем случае   Тогда   Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.   Следовательно, решение найдено верно. Ответ:  или в другой записи .

Пример. Решите СЛАУ  матричным методом. Решение. Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x₂, второе – x₁, третье – x₃. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как . От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ . Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :   Построим обратную матрицу  с помощью матрицы из алгебраических дополнений:   тогда,   Осталось найти решение СЛАУ:   Рекомендуем выполнить проверку. Ответ: .

При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ  НЕЛЬЗЯ записать как . Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:   или    Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ  в матричной форме запишется как . Разберем пример. Пример. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  с помощью обратной матрицы. Решение. Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме . Вычислим определитель основной матрицы:   Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как . Найдем обратную матрицу по формуле :   Получим искомое решение:   Ответ: x = 0, y = -2, z = 3. Пример. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  матричным методом. Решение. Определитель основной матрицы системы равен нулю   поэтому, мы не можем применить матричный метод.

Пример. Решите СЛАУ  матричным методом,  - некоторое действительное число. Решение. Система уравнений в матричной форме имеет вид . Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:   Квадратных трехчлен  не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем . Построим обратную матрицу по формуле :   Тогда   Ответ: .