Вопросы_билетов_2015

1. Понятие вектора. Линейные операции нал векторами и их св-ва. Понятие линейного пространства свободных векторов(ЛПСВ). Примеры.

2. Коллинеарные и компланарные вектора. Теорема разложения векторов.

3. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости Достаточные условия линейной зависимости.

4. Определение базиса ЛПСВ. Разложение вектора по базису и его единственность. Координаты вектора и его св-ва. Понятие ОНБ.

5. Аффинные и декартовые прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.

6. Скалярное произведение векторов, его св-ва, выражение через координаты перемножаемых векторов.

7. Проекция вектора на ось и его св-ва.

8. Векторное произведение двух векторов, его св-ва. Выражение через координаты перемножаемых векторов.

9. Смешанное произведение векторов, его св-ва, его выражение через координаты перемножаемых векторов.

10. Полярные, цилиндрические и сферические системы координат.

11. Алгебраические линии и поверхности. Порядок алгебраической линии и поверхности и его инвариантность относительно преобразований аффинных систем координат.

12. Общее уравнение прямой на плоскости (плоскости в пространстве).

13. Параметрическое и каноническое уравнение прямой (на плоскости и в пространстве) и параметрическое уравнение плоскости. Переход к общему уравнению и обратно (для плоскости).

14. Нормальное уравнения прямой на плоскости и в пространстве, переход от общего уравнения к нормальному. Расстояние от точки до прямой (плоскости).

15. Основные задачи о прямых и плоскостях. Расстояние от точки до прямой в пространстве, между прямыми, между плоскостями, примой и плоскостью. Прямая с угловым коэффициентом. Уравнение прямой и плоскости в отрезках.

16. Пучок прямых (плоскостей).

17. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым, вычисление расстояния между ними.

18. Эллипс: определение, св-ва и форма.

19. Гипербола: определение, св-ва и форма

20. Парабола: определение, св-ва и форма.

21. Общее уравнение кривой второго порядка. Изменение коэффициентов кривой 2-го порядка при параллельном переносе или повороте декартовой системы координат.

22. Упрощение уравнения кривой 2-го порядка. Классификация кривых (случай центральных кривых).

23. Упрощение уравнения кривой 2-го порядка. Классификация кривых (случай нецентральных кривых).

24. Цилиндрические и конические поверхности. Общие уравнения цилиндрических и конических поверхностей. Цилиндры второго порядка.

25. Поверхности вращения. Общее уравнение поверхностей вращения поверхности вращения 2-го порядка.

26. Канонические уравнения эллипсоидов и гиперболоидов. Исследование их формы методом сечений.

27. Канонические уравнения параболоидов. Исследование их формы методом сечений.

28. Прямоугольные матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число и его св-ва.

29. Умножение матриц друг на друга и его св-ва.

30. Операция транспонирования матриц и ее св-ва. Симметрические и кососимметрические матрицы.

31. Перестановки "n" элементов, их св-ва, четные и нечетные перестановки. Транспозиция. Теорема об изменении четности перестановки при транспозиции элементов.

32. Определение определителя матрицы. Лемма о знаке члена определителя.

33. Транспонирование матриц. Свойство равноправия строк и столбцов определителя. Изменение знака определителя при перестановке его строк (столбцов).

34. Линейность определителя. Операции над столбцами (строками), не меняющихся определителя.

35. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Следствие из этой теоремы.

36. Формула Бине-Коши. Теорема об определителе произведения 2-х матриц.

37. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Критерий линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Достаточные условия линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

38. Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

39. Критерий равенства нулю определителя. Теорема о ранге матрицы.

40. Элементарные преобразования матрицы. Сохранение ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

41. 41.Обратная матрица и ее св-ва. Критерий обратимости матрицы.

42. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.