Контрольная работа Теория игр
.pdfМинистерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова
Кафедра прикладной математики и высокопроизводительных вычислений
Контрольная работа по курсу «Теория игр»
для студентов 2 курса заочной формы обучения ВШЭиУ направления подготовки 38.03.01.62 «Экономика», 38.03.02.62 «Менеджмент», 38.03.04.62 «Государственное и муниципальное управление»
Литература к заданиям
1.[1] гл. III, п. 3.3.; [3] гл. IX; [4] гл. VIII; [5] гл. X.
2.[3] гл. IX, п. 9.3.
3.[3] гл. IX, п. 9.4.
4.[1] гл. III, п. 3.3. ; [4] гл. VIII.
5.[1] гл. III, п. 3.3.; [2] гл. II, п. 2.4.
Задание 1.
Найти нижнюю и верхнюю цену игры, платежная матрица которой имеет вид, приведенный ниже. Убедиться, что игра имеет седловую точку. Найти цену игры. Указать оптимальные стратегии каждого из игроков.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
2 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
7 |
4 |
|
||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
8 |
2 |
6 |
1 |
|
|
1) |
|
|
2) |
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
, |
||||||||||||||||
|
2 |
1 |
3 |
5 |
|
|
2 |
1 |
5 |
5 |
|
|
2 |
3 |
5 |
2 |
|
|
2 |
3 |
5 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
4 |
5 |
|
|
|
7 |
3 |
3 |
6 |
|
|
|
7 |
8 |
5 |
6 |
|
|
|
7 |
8 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
7 |
4 |
|
|
4 |
3 7 9 |
|
|
7 |
9 |
7 |
9 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
8 |
0 |
5 |
1 |
|
|
|
8 |
10 5 1 |
|
|
|
|
|
1 |
9 |
5 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
5) |
|
|
6) |
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
5 |
3 |
|
|
8 |
9 |
11 |
10 |
|
|
|
2 |
10 |
8 |
7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
4 |
|
|
|
7 |
8 8 2 |
|
|
|
|
|
7 |
8 |
8 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
11 |
|
9 |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
11 |
9 |
|
2 |
12 |
|
|
|
|
11 |
9 |
2 |
|
12 |
|
||
|
|
1 9 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 9 5 1 |
|
|
|
|
1 |
9 5 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8) |
|
14 |
10 |
7 |
7 |
|
|
9) |
|
14 |
10 |
15 |
17 |
|
10) |
14 |
11 |
19 |
17 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
8 8 |
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
8 8 6 5 |
|
|
|
|
8 |
8 6 5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задание 2.
Предприниматель А планирует начать выпуск изделий Т1 и Т2. Ожидаемая прибыль зависит от того, какой вид изделий Т1 или Т2 будет выпускать конкурент В. Если оба будут производить изделия Т1, то ввиду
конкуренции А понесет убытки в X тыс. руб. Если оба будут производить Т2, то по той же причине А понесет убытки в Y тыс. руб. Если А будет производить Т1 а В – Т2, то прибыль А составит Z тыс. руб. Если А будет производить Т2, а В – Т1, то прибыль А составит T тыс. руб. Найти оптимальные стратегии каждого из предпринимателей.
1) X=100, Y=300, Z=800, T=700;
2) X=50, Y=150, Z=300, T=400;
3)X=60, Y=140, Z=300, T=500;
4)X=40, Y=140, Z=200, T=300;
5)X=150, Y=350, Z=400, T=600;
6)X=200, Y=300, Z=600, T=400;
7)X=300, Y=500, Z=1000, T=1500;
8)X=100, Y=350, Z=900, T=600;
9)X=50, Y=150, Z=700, T=300;
10)X=200, Y=100, Z=650, T=350.
Задание 3.
Предприятие имеет две стратегии рыночного поведения, тогда как его конкурент имеет четыре таких стратегии. Прибыль (в у.д.е.), которую получит предприятие при условии, что оно изберет стратегию i (i = 1, 2), а его конкурент стратегию j (j = 1, 2, 3, 4), равна aij. Платежная матрица для каждого варианта приведена ниже. Требуется графическим способом найти оптимальные смешанные стратегии предприятия и конкурента, а также цену игры оптимальную прибыль предприятия.
1) |
1 2 |
4 |
5 |
2) |
1 |
2 |
4 |
3 |
|
3) |
|
|
1 2 |
4 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 3 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
4 4 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
4) |
1 2 |
4 |
5 |
5) |
1 |
3 |
5 |
0 |
6) |
3 |
2 |
4 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 3 |
2 |
|
|
|
2 |
0 |
2 |
5 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 4 |
1 |
|
|
1 4 |
2 |
3 |
|
|
1 2 |
2 |
3 |
|
|
7) |
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 2 |
6 |
|
|
3 3 |
4 |
2 |
|
|
4 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
4 |
|
10) |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
Задача 4.
Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны четыре варианта погоды S1 , S2 , S3 и S4 .
Используя |
критерии |
Вальда, максимального |
оптимизма, |
Гурвица |
(при |
0,6), |
Сэвиджа |
и Лапласа, выбрать |
оптимальный |
проект |
для |
строительства. Матрица затрат имеет вид:
|
|
7 |
12 |
8 |
5 |
|
|
|
9 |
10 |
7 |
9 |
|
1) |
|
|
||||
|
6 |
8 |
15 |
7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
10 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
8 |
6 |
|
|
|
|
7 |
9 |
7 |
9 |
|
|
4) |
|
|
, |
||||
|
5 |
5 |
13 |
7 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
10 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
8 |
9 |
4 |
|
|
|
|
7 |
6 |
7 |
9 |
|
7) |
|
|
||||
|
5 |
5 |
17 |
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
13 |
5 |
|
|
|
17 |
11 |
||||
|
|
9 |
13 |
8 |
7 |
|
|
|
9 |
10 |
7 |
9 |
|
2) |
|
|
||||
|
6 |
5 |
15 |
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
11 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
10 |
9 |
8 |
6 |
|
|||
|
|
7 |
7 |
7 |
9 |
|
||
5) |
|
|
||||||
|
5 |
5 |
17 |
8 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
9 |
10 |
9 |
|
|
||
|
|
11 |
||||||
|
10 |
2 |
9 |
4 |
|
|
||
|
|
7 |
6 |
8 |
9 |
|
|
|
8) |
|
|
|
|||||
|
5 |
5 |
17 |
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 |
9 |
12 |
|
||
|
18 |
|
||||||
|
|
|
8 |
5 |
10 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
4 |
8 |
9 |
|
|
10) |
|
|
|
|||||
|
5 |
5 |
19 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
9 |
9 |
12 |
|
|
|
|
18 |
|
|||||
Задача 5.
|
|
5 |
12 |
8 |
6 |
|
|
|
7 |
10 |
7 |
9 |
|
3) |
|
|
||||
|
6 |
5 |
15 |
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
11 |
9 |
10 |
|
|
|
|
||||
|
10 |
8 |
9 |
4 |
|
|
|
|
7 |
6 |
7 |
9 |
|
6) |
|
|
||||
|
5 |
5 |
17 |
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
10 |
9 |
|
|
|
|
12 |
||||
|
10 |
4 |
9 |
7 |
|
|
|
|
7 |
6 |
8 |
10 |
|
9) |
|
|
||||
|
5 |
5 |
17 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9 |
9 |
12 |
|
|
18 |
|
||||
Найти решение матричной игры, сведя ее к задаче линейного программирования.
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|
3 6 1 |
4 |
||||||||
1) |
|
1 |
0 |
1 |
|
2) |
|
2 |
0 |
2 |
|
3) |
|
5 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 1 |
7 |
8 |
|
1 |
12 |
10 |
|
3 5 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
4 |
4 |
5 |
9 |
|
5) |
|
8 |
10 |
9 |
|
6) |
|
2 |
5 |
11 |
|
|
|
4 |
7 |
4 |
2 |
|
|
|
|
3 7 |
|
|
|
6 |
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
||||||||||
|
4 3 |
5 |
|
1 3 |
2 |
|
3 6 1 |
4 |
||||||||||
7) |
|
2 |
5 |
2 |
|
8) |
|
2 |
1 |
3 |
|
9) |
|
5 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
10) |
|
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Ли т е р а т у р а :
1.Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. М.: Вузовский учебник, 2012. – 272 с.
2.Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: Компьютерное моделирование: учебное пособие. М.: Вузовский учебник, 2012. 366 с.
3.Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / п/р Кремер Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2003. 407 с.
4.Вентцель Е.С. Исследование операций в экономике. Задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988. 208 с.
5.Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: Модели, задачи, решения: учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2003. 444 с.