11.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости

Представим уравнение (11.2) в другом виде. Подставим в него выражение для :

,

. (11.3)

Из формулы (11.3) видно, что коэффициент регрессии показывает на сколько единиц изменится переменнаяпри увеличении переменнойна 1 единицу. Это не всегда является удобным, так какзависит от единиц измерения.

Умножим на, тогда (11.3) имеет вид

.

Обозначим через . (11.4)

Определение. Величинаявляется показателем тесноты связи и называетсявыборочным коэффициентом корреляции, равный

. (11.5)

Выборочный коэффициент корреляции показывает на сколько величинизменится в среднем, когдаувеличится на одно.

Т.к. формула для (11.5) симметрична относительно двух переменных, то можно записать:

. (11.6)

Найдя произведение обеих частей равенств (11.4) и (11.6), получим

или

,

т.е. коэффициент корреляции есть средняя геометрическая коэффициентов регрессии, имеющая их знак.

Т.о. теоретическая линия регрессии поимеет вид:

.

Аналогично определяется теоретическая линия регрессии по :

.

Замечание.Обе теоретические линии регрессии проходят через точку.

Найдем уравнения теоретических линий регрессии для нашей таблицы распределения.

Вычислим коэффициент корреляции . Для этого проведем расчеты,,,,.

=,=.

=

=

Т.о.

Теоретическая линия регрессии на:

или

.

Теоретическая линия регрессии на:

или

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции r

1) - абсолютная величина не превосходит единицы.

2) При корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость. При этом линии регрессиипоипосовпадают.

3) При линейная корреляционная связь отсутствует. Линии регрессии параллельны осям координат.

4) Если , то с.в.исвязаны корреляционной зависимостью. Чем ближек единице, тем сильнее эта зависимость.

Проверка значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть из двумерной генеральной совокупности извлечена выборка объемаnи по ней найден выборочный коэффициент корреляции. Так как выборка случайная, то нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупноститакже отличен от нуля. Поэтому при заданном уровне значимостипроверяем гипотезуоб отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е.:.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а ХиYсвязаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

.

Величина имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы.

Правило проверки нулевой гипотезы.Для того чтобы при заданном уровне значимостипроверить нулевую гипотезу:, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента найти критическую точку.

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

55