4. Графический метод решения задачи линейного программирования.

Если в задаче линейного программирования ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, то задача может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из этапов:

1.Стоится многоугольная область допустимых решений ЗЛП - мн-ик решений.

2.Строится вектор-градиент целевой функции. Начало в т.О(0,0), а вершина в т.(df_/dx₁; df/dx₂)=(C₁;C₂).

3.Строим линию уровня c₁x₁+c₂x₂=a, a=const. Линия уровня это прямая перпендикулярная вектору-градиенту. Передвигаемся в направлении этого вектора. В случае максимизации ЦФ до тех пор, пока не покинет ОДР. Предельная точка ОДР при этом движении и является точкой max ЦФ.

4.Для нахождения координат указанной предельной точки, достаточно решить 2 уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку max. Значение ЦФ найденное в этой точке является max. При минимизации ЦФ линия уровня перемещается в направлении противоположном вектору-градиенту.

5. Особые случаи решения злп графическим методом.

При решении некоторых ЗЛП графическим методом может встретиться случай, когда линия уровня пар-на одной из сторон выпуклого мн-ка допустимых решений, причем, эта сторона расположена в направлении ЦФ к своему оптимуму. В этом случае оптимальное решение ЦФ достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) мн-ка решений и во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т.е. задача будет иметь бесчисленное множество решений. Если область допустимых решений будет незамкнутым выпуклым мн-ком в направлении оптимизации ЦФ, то ЦФ будет неограниченной и ЗЛП не будет иметь решений; в этом случае можно записать, что она стремится к +бесконечности.

Также ЗЛП не будет иметь решений в случае, когда область допустимых решений есть пустое множество, т.е. система ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удв. этих ограничений.

1 max (3x₁+5x₂) ограничения: x₁+x₂ ≥ 2 4x₁+2x₂ ≤ 2 при x₁,₂ ≥ 0

Задача неразрешима - противоречивость ограничений

2 max (3x₁+2x₂) x₁-x₂ ≤ 1 2x₁+x₂ ≥ 1 при x₁,₂ ≥ 0

Задача неразрешима - неограниченность ЦФ на ОДР.

3 Случай не единственности решения max (8x₁+10x₂) 5x₁+x₂ ≤ 15 4x₁+5x₂ ≤ 40 при x₂ ≥ 3 x₁ ≥ 0

Линия уровня 8x₁+10x₂ =a параллельна одной из линий по границе ОДР. Это значит, что задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (его задают координаты точек отрезка ВС).

6. Каноническая форма записи злп. Способы приведения злп к каноническому виду.

КЗЛП – запись с использованием знаков суммирования:

max (min) f(x₁,x₂,…,x_n)=c_jx_j,

найти при ограничениях:

a_ijx_j=b_i, i=1,2,m; x_j≥0, j=1,2,n; b_i≥0, i=1,2,m

Векторная запись КЗЛП:

max (min) f(x₁,x₂,…,x_n)=f (X)=CX,

A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n=B, X≥0,

Где: C=(c₁,c₂,c_n), X=(x₁,x₂,x_n);

CX-скалярное произведение векторов C и X;

A₁,A₂,A_n – вектор-столбцы.

Матричная запись:

max (min) f (X)=CX, AX=B, X≥0.

Где С=(c₁,c₂,c_n) – матрица-строка;

X, B – матрица-столбец;

A=(a_ij) – матрица размерности m*n, столбцами которой явл. Вектор-столбцы A₁, A₂, A_n.

Стандартная форма записи:

max (min) f (X)=CX, AX≥(≤)B (соотв. компонентов слева и справа), X≥0

Любую ЗЛП можно привести к КЗЛП путем введения в левую часть соотв. ограничения вида

k-й доп. (вспомогат.) переменной X_n+k≥0 со знаком «-», если «≥» и «+», если «≤». Если на некоторую переменную X_p не накладывается условие неотр., то делает замену переменных X_p=X_1p-X_2p, X_1p≥0 , X_2p≥0. В преобразованной задаче все переменные неотр.