Решение несимметричных задач

Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой­ственности.

Решив двойственную задачу графическим методом, полу­чим

По 1-й теореме двойственности L()_min = S()_max = 33/2.

Подставим _опт в систему ограничений двойственной за­дачи:

Так как х₃ = х₄ = 0, то система ограничений исходной задачи примет вид

Решая данную систему, получим

Рассмотрим решение задач с использованием обратной матрицы.

Пусть решение исходной задачи

Решение двойственной задачи найдем по формуле

где

Таким образом, _oпт = (1/2, 2), при этом S()_max = 33/2.

Решение смешанных двойственных задач

Смешанные двойственные задачи можно решать с исполь­зованием теорем двойственности.

Найдем оптимальное решение двойственной задачи:

По 1-й теореме двойственности

Так как х₁ > 0, x₃ > 0, то по 2-й теореме двойственности пер­вое и третье ограничения двойственной задачи выполняются в виде равенств:

22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности

Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель

при ограничениях:

Двойственная задача имеет вид

при ограничениях:

ТЕОРЕМА 3. Значения переменных у_i в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влия­ния свободных членов системы ограничений исходной задачи на оптимальное значение ее целевой функции, т.е.

Примем L_i ≈ ΔL_i, b_i ≈ Δb_i, тогда ΔL_i ≈ y_i • Δb_i.

Для задачи оптимального использования сырья это уравне­ние показывает, что при изменении i-го ресурса оптимальный доход является линейной функцией от его приращения, причем коэффициентом служит у_i — i-я компонента оптимального ре­шения двойственной задачи.

Если y_i мало, то значительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать небольшое увеличение оптимального дохода и ценность ресурса невелика.

Если y_i = 0, то при увеличении i-го ресурса оптимальный доход остается неизменным и ценность этого ресурса равна нулю. В самом деле, сырье, запасы которого превышают по­требности в нем, не представляет ценности для производства и его оценку можно принять за нуль.

Если у_i велико, то незначительному увеличению i-го ресур­са будет соответствовать существенное увеличение оптималь­ного дохода и ценность ресурса высока. Уменьшение ресурса ведет к существенному сокращению выпуска продукции.

Переменную у_i считают некоторой характеристикой цен­ности i-го ресурса. В частности, при увеличении i-го ресурса на единицу (Δb_i = 1) оптимальный доход возрастает на y_i, что позволяет рассматривать y_i как "условную цену", оценку единицы i-го ресурса, объективно обусловленную оценку.

Так как у_i представляет частную производную от опти­мального дохода по i-му ресурсу, то у_i характеризует скорость изменения оптимального дохода при изменении i-го ресурса.

С помощью y_i можно определить степень влияния огра­ничений на значение целевой функции. Предельные значения (нижняя и верхняя границы) ограничений ресурсов, для кото­рых y_i остаются неизменными, определяются по формулам:

где x_j — значение переменной в оптимальном решении; d_ij — элементы матрицы (d_ij) = А^-1, обратной к матрице базиса оптимального решения, для которой А = (a_ij)_mxn.

Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка находится по формуле

Если Δ_j < 0, то новый вид продукции улучшает план. При Δ_j > 0 нецелесообразно включать новый вид продукции.