15.2. Методы решения систем линейных уравнений Метод обратной матрицы и теорема Крамера

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид

Составим квадратную матрицу А порядка n этой системы:

1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид

где матрицы Х и В имеют размер n х 1. Пусть матрица систе­мы А является невырожденной, т.е. существует обратная мат­рица А^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А^-1, получаем решение системы (15.5) в матричной форме:

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае когда по­рядок n матриц А и А^-1 достаточно велик, вычисление обрат­ной матрицы может быть очень громоздким.

2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы систе­мы А:

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим Δ_j:

ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δ_j — определитель, полученный из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, то система линейных уравнений (15.5) имеет единственное решение, определяемое по форму­лам

Формулы вычисления неизвестных (15.6) — решения сис­темы (15.5) — носят название формул Крамера.

Пример 1. Найти решение системы уравнений

Решение. Составим и вычислим определители системы Δ и Δ_j (j = x, y, z):

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по форму­лам (15.6):

Решение системы общего вида

Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой системы.

1. Необходимо определить совместность системы, т.е. опре­делить сначала ранги матрицы системы А и расширенной мат­рицы A_B. По теореме Кронекера-Капелли если ранги этих матриц не совпадают, то система несовместна и тогда нет смысла ее решать. Если же ранги матриц А и А_B равны, то система (15.1) совместна.

Определение 1. Рангом совместной системы линейных алгеб­раических уравнений называется ранг ее матрицы.

2. Пусть система (15.1) совместна и ранг ее равен r. Вы­делим в матрице системы (15.2) некоторый базисный минор; предположим, что именно первые r строк матриц А и А_B яв­ляются базисными. Тогда по теореме о базисном миноре ос­тальные строки матрицы являются линейными комбинациями остальных строк. В свою очередь это означает, что в системе (15.1) первые r уравнений, соответствующие базисным стро­кам матрицы А, являются базисными, а остальные — их ли­нейными комбинациями. Тогда эти (m — r) уравнений можно удалить из системы, причем в результате указанных элемен­тарных преобразований мы получаем эквивалентную систему:

3. Система (15.7) характерна тем, что ее ранг равен числу уравнений в ней, причем r ≤ n, т.е. ранг не превосходит числа неизвестных. Поэтому возможны два случая: либо r = n, либо r < n. В первом случае система (15.7) имеет квадратную невырожденную матрицу порядка r (см. выше) и, согласно теореме Крамера, существует единственное решение этой системы. Иными словами, если ранг системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, т.е. она является оп­ределенной.

4. Рассмотрим теперь случай, когда r < п. Перенесем в правые части уравнений (15.7) все слагаемые, содержащие не­известные x_r+1, x_r+2, …, x_п. Тогда система принимает вид

Неизвестным x_r+1, ..., x_п можно придавать любые значения, и потому они называются свободными. Неизвестные х₁, x₂, ..., x_r соответствующие базисным столбцам, называются базисными. Из системы (15.8) легко найти выражения базисных неизвест­ных через свободные, согласно теореме Крамера, рассматри­вая правые части этих уравнений как элементы столбца сво­бодных членов, содержащие x_r+1, x_r+2,…, х_п. Можно показать, что базисные неизвестные x₁, х₂, ..., x_r линейно выражаются через свободные неизвестные. Поскольку свободные неизвест­ные могут принимать любые значения, то в случае когда ранг совместной системы меньше числа неизвестных, эта система является неопределенной: она имеет бесчисленное множество решений.