Упражнения

Решить задачи с использованием графического метода.

20.1. L() = 3x₁ + х₂ → max при ограничениях:

20.2. L() = 2x₁ — 10x₂ → min при ограничениях:

20.3. L() = 2x₁ + 3x₂ → max при ограничениях:

20.4. L() = 3x₁ + 5х₂ → max при ограничениях:

20.5. L() = 4x₁ + 6x₂ → min при ограничениях:

20.6. L() = 4x₂ → min при ограничениях:

20.7. L() = 2x₁ + 3x₂ → max при ограничениях:

20.8. В суточный рацион включают два продукта питания П₁ и П₂, причем продукта П₁ должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П₁ составляет 2 р., про­дукта П₂ — 4р. Содержание питательных веществ в 1 ед. про­дукта, минимальные нормы потребления указаны в табл. 20.2.

Определить оптимальный рацион питания, стоимость ко­торого будет наименьшей.

Провести анализ задач с использованием графического ме­тода.

20.9. L() = x₁ + x₂ → max (min) при ограничениях:

20.10. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в табл 20.3.

Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида — 4 ед., 3-го вида — 6 ед. и 4-го вида — 10 ед. Выпуск одного из­делия типа А приносит доход 300 р., одного изделия типа В — 200р.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наи­больший доход.

20.11. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках, причем каждая деталь должна последовательно об­рабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А — 100 р., детали В — 160 р. Исходные данные при­ведены в табл. 20.4.

Определить производственную программу, максимизирую­щую прибыль при условии: спрос на деталь А — не менее 300 шт., на деталь В — не более 200 шт.

Глава 21.Симплексный метод

21.1. Общая постановка задачи

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, за­писанную в каноническом виде.

Идея симплексного метода (метода последовательного улуч­шения плана) заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оп­тимальному. Значение целевой функции при этом перемеще­нии для задач на максимум не убывает. Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оп­тимальное опорное решение. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

21.2. Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность. Для этого заполняем симплексную таблицу (табл. 21.1). Все строки таблицы 1-го шага, за исключением строки Δ_j (индексная строка), заполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Индексная строка для переменных находится по формуле

и по формуле

Возможны следующие случаи при решении задачи на максимум:

— если все оценки Δ_j ≥ 0, то найденное решение оптимальное;

— если хотя бы одна оценка Δ_j ≤ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного коэффициента, решение задачи прекращаем, так как L() → ,т.е. целевая функция неограничена в области допусти­мых решений;

— если хотя бы одна оценка отрицательная, а при соответ­ствующей переменной есть хотя бы один положитель­ный коэффициент, то нужно перейти к другому опорно­му решению;

— если отрицательных оценок в индексной строке несколь­ко, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную, которой соответствует наибольшая по аб­солютной величине отрицательная оценка.

Если хотя бы одна оценка Δ_k < 0, то k-й столбец прини­маем за ключевой. За ключевую строку принимаем ту, кото­рой соответствует минимальное отношение свободных членов (b_i) к положительным коэффициентам k-гo столбца. Элемент, находящийся на пересечении ключевых строки и столбца, называется ключевым элементом.

3. Заполняем симплексную таблицу 2-го шага:

— переписываем ключевую строку, разделив ее на ключе­вой элемент;

— заполняем базисные столбцы;

— остальные коэффициенты таблицы находим по прави­лу "прямоугольника"*. Оценки можно считать по приве­денным выше формулам или по правилу "прямоугольни­ка" Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность, и т.д.

* Правило "прямоугольника" заключается в следующем. Пусть ключе­вым элементом 1-го шага является элемент 1-й строки (m +1)-го столбцаh_1,m+1.Тогда элементi-й строки (m + 2)-го столбца 2-го шага — обозначим его h’_i,m+2 —согласно правилу "прямоугольника" выражается формулой

где h_i,m+2, h_i,m+1, h_1,m+1 — элементы 1-го шага.

Примечание. Если целевая функция L() требует нахож­дения минимального значения, то критерием оптимальности задачи является неположительность оценок Δ_j при всех j = .