20.2. Алгоритм решения задач

1. Находим область допустимых решений системы ограни­чений задачи.

2. Строим вектор .

3. Проводим линию уровня L₀, которая перпендикулярна .

4. Линию уровня перемещаем по направлению вектора для задач на максимум и в направлении, противоположном , для задач на минимум.

Перемещение линии уровня производится до тех пор, пока у нее не окажется только одна общая точка с областью допусти­мых решений. Эта точка, определяющая единственное решение задачи ЛП, и будет точкой экстремума.

Если окажется, что линия уровня параллельна одной из сторон ОДР, то в таком случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений. Говорят, что такая задача ЛП имеет альтернативный оптимум, и ее решение находится по формуле

где 0 ≤ t ≤ 1, ₁ и ₂ — оптимальные решения в угловых точках ОДР.

Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие ее ограничения окажутся противоречивыми.

5. Находим координаты точки экстремума и значение це­левой функции в ней.

20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий

Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоко­ладное. Для изготовления мороженого используются два ис­ходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в табл. 20.1.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не бо­лее чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шо­коладное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 р., шоколадного — 14 р.

Какое количество мороженого каждого вида должна про­изводить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение. Обозначим: x₁ — суточный объем выпуска сли­вочного мороженого, кг; x₂ — суточный объем выпуска шоко­ладного мороженого, кг.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид

при ограничениях:

OABDEF — область допустимых решений (рис. 20.1). Строим вектор (1, 1). Линия уровня L₀ задается уравнением

Перемещаем линию уровня по направлению вектора . Точ­кой выхода L₀ из области допустимых решений является точка D, ее координаты определяются как пересечение прямых, за­данных уравнениями:

Решая систему, получим координаты точки D (312,5; 300), в которой и будет оптимальное решение, т.е.

при этом

Таким образом, фирма должна выпускать в сутки 312,5 кг сли­вочного мороженого и 300 кг шоколадного мороженого, при этом доход от реализации составит 9 200 р.

20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода

Проведем экономический анализ рассмотренной выше за­дачи по производству мороженого.

Математическая модель задачи имеет вид

при ограничениях:

Согласно найденному оптимальному решению, фирме необ­ходимо выпускать в сутки 312,5 кг сливочного и 300 кг шоко­ладного мороженого, при этом максимально возможный доход составит 9 200 р.

Определим, как влияет на оптимальное решение увеличе­ние или уменьшение запасов исходных продуктов. Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит че­рез точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет активное ограничение. В про­тивном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответ­ствующий ресурс является дефицитным, так как он использу­ется полностью. Если ограничение пассивное, то оно недефи­цитное и имеется в фирме в избытке.

Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения (20.1) по молоку (рис. 20.2). При перемещении параллельно са­мой себе прямой (20.1) вправо до пересечения с прямыми (20.2) и (20.3) в точке М ограничение (20.1) будет оставаться актив­ным. Точку М определим как точку пересечения прямых (20.2) и (20.3):

Откуда получаем М(370,83; 270,3).

Подставляя координаты точки М в уравнение (20.1), полу­чим предельно допустимый суточный запас молока:

при этом величина дохода составляет

Рассмотрим увеличение ограничения по наполнителям (рис. 20.3). При перемещении параллельно самой себе прямой (20.2) вправо до пересечения с прямыми (20.1) и (20.4) в точ­ке N ограничение (20.2) будет оставаться активным. Точку N определим как точку пересечения прямых

Откуда получаем N(281,25; 350).

Предельно допустимый суточный запас наполнителей мож­но увеличивать до значения

при этом величина дохода составит

Рассмотрим возможность изменения правой части пассив­ных ограничений (20.3) и (20.4). Не изменяя оптимальное ре­шение (рис. 20.4), прямую (20.3) можно перемещать парал­лельно самой себе вверх до пересечения с точкой D(312,5; 300), т.е. правую часть ограничения (20.3) можно уменьшать до величины

Прямую (20.3) можно перемещать параллельно самой себе вниз до пересечения с осью ОХ₁ в точке Р(500; 0), т.е. правую часть ограничения (20.3) можно увеличивать до 500 кг.

Таким образом, при неизменном оптимальном решении раз­ница в покупательском спросе на сливочное и шоколадное мо­роженое может изменяться в диапазоне от 12,5 до 500 кг.

Аналогично, не изменяя оптимальное решение (рис. 20.5), прямую (20.4) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с осью ОХ₂ в точке R(0; 456,25) или вниз до пересечения с прямой (20.1) в точке D(312,5; 300).

Таким образом, при неизменном оптимальном решении по­купательский спрос на шоколадное мороженое может изме­няться в диапазоне от 300 до 456,25 кг.

Проведем анализ задачи по пределам возможного измене­ния коэффициентов целевой функции, т.е. по диапазону опто­вых цен на мороженое, при котором не происходит изменения оптимального решения.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает вли­яние на наклон линии уровня. Уравнение линии уровня запи­сывается в общем виде (рис. 20.6):

Угловой коэффициент прямой (20.1):

Так как прямые совпадают, то К = К₁, откуда c_1max = 22,4 при c₂ = 14. Коэффициент с₁ можно уменьшать до сов­падения линии уровня с прямой (20.2), поэтому

Таким образом, оптимальное решение задачи не изменится, ес­ли розничная цена 1 кг сливочного мороженого лежит в диапа­зоне от 7 до 22,4 р., при этом доход фирмы будет от 6 387,5 до 11200 р.

Аналогичные рассуждения для случая с₁ = 16 позволили сделать вывод, что оптимальное решение задачи не изменит­ся, если розничная цена 1 кг шоколадного мороженого лежит в диапазоне от 10 до 32 р., при этом доход фирмы будет от 8000 до 14 600 р.