Раздел II. Основы оптимального управления

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администра­ций всех уровней. Долгое время они являлись монополией че­ловека с соответствующей подготовкой и опытом работы. Со­вершенствование науки, техники, разделение труда усложнили принятие решений в управлении и планировании.

Для принятия обоснованного решения необходимо иметь и обработать большое количество информации, определяемое иногда астрономическими цифрами. Принятие ответственных решений, как правило, связано с большими материальными ценностями. В настоящее время недостаточно знать путь, ве­дущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных пу­тей выбрать наиболее экономичный, который наилучшим об­разом соответствует поставленной задаче.

Появление цифровых вычислительных машин и персональ­ных компьютеров создало огромные возможности для разви­тия науки, совершенствования методов планирования и управ­ления производством. Однако без строгих формулировок задач, без математического описания процессов современный уровень управления и планирования не может быть достигнут.

Задачи управления и планирования обычно сводятся к вы­бору некоторой системы параметров и системы функций, ко­торые приводят к экстремальным задачам следующего вида.

Требуется найти максимум функции

при условиях:

где f, g_i — функции, x₁, x₂, ..., x_п — параметры управления.

Выражение (а) называется функцией цели. Условия (b) и (с) представляют собой ограничения поставленной задачи. Усло­вия (с) справедливы для многих задач, особенно экономичес­ких, когда параметры управления (x_j) по своему физическом смыслу не могут быть отрицательными. Среди условий задачи могут быть равенства.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением эк­стремальных (максимальных или минимальных) задач управ­ления, планирования и разработкой методов их решения, полу­чила название математического программирования.

Основное отличие задач математического программирова­ния от условных экстремальных задач, рассмотренных в час­ти 6, заключается в наличии неравенств в системе ограниче­ний. Поэтому методы решения задач на условный экстремум с помощью множителей Лагранжа не могут быть применены.

В зависимости от вида функции цели и ограничений ма­тематическое программирование делится на линейное и нели­нейное.

Наиболее разработанным разделом математического про­граммирования является линейное программирование.

В задачах линейного программирования возможны случаи, когда параметры управления могут принимать лишь целые дискретные значения. При решении подобных задач использу­ется целочисленное программирование.

В некоторых случаях исходные параметры задачи могут изменяться в некоторых пределах, для их решения применяет­ся параметрическое программирование.

В настоящее время не существует общих и достаточно эф­фективных методов решения задач нелинейного программи­рования. Лишь для определенного класса нелинейных задач, система ограничений которых линейна, а целевая функция не­линейна, но обладает свойством выпуклости, разработаны до­статочно эффективные методы, получившие название методов выпуклого программирования.

На практике часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых необходимо принимать решения при наличии двух или более сторон, имеющих различные цели. Результаты любого действия каждой из сторон зависят от решений партнеров. В экономике подобные ситуации встречаются довольно часто. Для решения задач с конфликтными ситуациями используют математические методы теории игр.

Динамическое программирование — один из разделов ме­тодов оптимизации, в котором процесс принятия решения мо­жет быть разбит на отдельные этапы. В основе метода лежит принцип оптимальности, разработанный Р. Беллманом.

Сетевые модели, в основе которых лежит теория графов, позволяют проводить их оптимизацию, а также совокупность расчетных и организационных мероприятий по управлению комплексами работ при создании новых изделий и технологий.

Цель изучения системы массового обслуживания состоит в том, чтобы контролировать их характеристики для проведения оптимизации системы в целом.

Рассмотрение моделей управления запасами преследует цель выбора для предприятий оптимальных расходов на до­ставку, хранение комплектующих материалов и ресурсов, не­обходимых для изготовления изделий.