Эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборок используют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s называется среднее значение s-x степеней разностей xi — С, где xi — наблюдаемая варианта, С — произвольная постоянная (ложный нуль — либо мода, либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда):
При C = 0 имеем начальные эмпирические моменты порядка s; в частности, в случае s = 1
Центральным
эмпирическим моментом порядка s
называется обычный момент (18.60) при С
=
в:
В частности,
Иными словами, выборочная дисперсия равна центральному эмпирическому моменту второго порядка. Центральные моменты выражаются через обычные по формулам, полностью аналогичным (18.19) и (18.20).
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют характеристики, аналогичные для теоретического распределения (см. предыдущий раздел 18.6).
Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:
Эксцесс эмпирического распределения определяется следующим равенством:
В формулы (18.62) и (18.63) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (18.61), а также выборочное среднее квадратическое отклонение (18.55).
Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:
Решение.
Найдем сначала
в
и σв
с использованием формул (18.52)-(18.55):
Далее, используя формулы (18.61), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:
Затем по формулам (18.62) и (18.63) находим искомые величины:
В заключение отметим, что все оценки, приведенные выше, определяются одним числом, т.е. являются точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра.
Упражнения
18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — количества стандартных деталей среди отобранных.
18.2. Книга издана тиражом 100 тысяч экземпляров. Вероятность брака в книге равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
18.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат равна 50Y. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2; случайные величины Х и Y являются независимыми.
18.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения
18.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов элемента некоторого устройства — в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
18.6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
18.7. Дано распределение двумерной дискретной случайной величины (X, Y):
Найти ковариацию Cov (X, Y) и коэффициент корреляции Х и Y.
18.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x) / π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).
18.9. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что Х примет значения: а) менее 0,2; б) менее трех; в) не менее трех; г) не менее пяти.
18.10. Дискретная случайная величина задана законом распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
18.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
18.12. Случайная величина Х задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x) = 1 - e-ax (а > 0). Найти математическое ожидание величины X.
18.13. Случайная величина Х задана на интервале (0,5) плотностью распределения f(x) = 2.x / 25; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.
18.14. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = е-|x| / 2. Найти математическое ожидание и дисперсию.
18.15. Случайная величина задана функцией распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
18.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
18.17. Ребро куба х измерено приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба, если его ребро рассматривать как случайную величину Х с равномерным распределением на указанном интервале.
18.18. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)?
18.19. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.
18.20. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35, 40).